Kovergiert und Grenzwert

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oerny Auf diesen Beitrag antworten »
Kovergiert und Grenzwert
Hi, ich habe einige Fragen zu einem Übungsblatt, da ich zum großteil nicht weis wie ich ansetzen soll:

1.Aufgabe:
Beweisen sie
hier würde ich das nehmen und eben für x 1 einsetzen, ist der Ansatz ok?

2.Aufgabe beweisen oder wiederlegen sie
Es sei eine Folge
a) wenn gegen x konvergiert und gegen x konvergiert, so konvergiet auch
b) wenn konvergiert dann konvergiert auch
c,d) lass ich mal weg, die will ich dann selbst versuchen wenn ich mal paar denkanstöße bekommen/gefunden habe

3. Zeigen sie, dass die Folgen:
und

konvergiert, brauch ich da das Cauchy Kriterium?

4. Zu n.m Element N sei . Bestimmen sie:

Hinweis: Berechnen Sie den Grenzwert und dann
wie berechne ich so einen Grenzwert, abschätzen und dann auch wieder

Bin für jede Hilfe und jedes Beispiel dankbar!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1. richtiger ansatz.

tipp zu 2a):

aus der vorraussetzung kannst du folgendes machen:

Sei vorgegeben. dann gilt:



was gilt dann für für ?

zur 2b) die "berühmteste" aller alternierenden folgen hilft dir da schon weiter.

edit:
auch noch schnell was zur 3.
bei hilft dir folgender thread:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=158740
bei würde ich mal so erweitern, dass du die 3te binomische formel anwenden kannst.

damit solltest du schon mal was anfangen können.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

danke das werde ich dann später mal in ruhe veruschen

aber was meisnt du mit der berühmtesten aller alternierenden folgen??

edit:
und noch ne frage zu dem anderen thread, den hab ich grad mal gelesen, nur ob ich das richtig verstehe: ich zeige die monotonie und dann zeige ich wiede rmit meinem kriterium (wie oben) das es beschränkt ist oder wie zeige ich beschränkt?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

in diesem fall wird die beschränktheit mit einer abschätzung gezeigt.

wenn du schon benutzen darfst, dass jede monotone beschränkte folge konvergiert, ist der beweis damit ja erbracht.

und ich meinte bei der 2b) Augenzwinkern
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

das Problem ist ich bin mir nicht sicher wie weit wir sind, da ich krank war... und das Zeugs noch nicht kopieren konnte und am Dienstag das Blatt abgeben muss, deswegen ahb ich auch kaum Ahnung wa sich machen soll

also kann ich einfach sagen, da das kleinste n das ich einsezten kann 1 ist und ich damit auf auf nichts kleineres wie kommen kann ist das ganze anch unten beschränkt. Reicht das?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

da die funktion monoton steigend ist, ist das entscheidende aber, dass sie nach oben beschränkt ist. der beweis dafür ist zwar nicht ausformuliert, aber wenn du dir mal die letzten beiden posts anschaust, so sollte dir doch ein licht aufgehen Augenzwinkern

aber wenn ihr in der vorlesung noch nicht so weit seid, dann musst du wohl das cauchy-kriterium benutzen.
 
 
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

ok, nach oben beschränkt also kleiner eins ist mir klar, weis wie geasgt nur nicht wie ich das "begründen/hinschreiben" soll.

wenn ich das ganze mit cauchy hinbekomm werd ichs wohl so machen, des weis ich das dran war (aber auch ohne mich)....irgendwie raff ich des ganze nicht so wirklich....

ich sag mal danke
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

ich bekomm das einfach nicht hin, kann mir evlt mal jemand etwas weiter helfen?! Am besten mit einem Beispiel für eine Aufgabe z.B.1a)
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

geht die a wie folgt:
Es sei und ich wähle
dann gilt:


da dies für alle n>=N gilt ist 1 der Grenzwert. was zu zeigen war
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

ich raff das wirklcih nciht, kann mir bitte jemand beim lösen helfen?!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wo nimmst du denn plötzlich das k im exponenten her? das hast du in deiner aufgabenstellung nicht erwähnt.

aber letztendlich kannt du es einfach so machen



dein fehler liegt also darin, dass du das minuszeichen nicht entfernt hast beim auflösen des betrages.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

hi, den exponenten hatte ich oben vergessen, sorry, aber warum muss ich da das minus wegmachen?
sieht das dann so aus:

tmo Auf diesen Beitrag antworten »

der exponent ändert natürlich alles.
denn dein erstes ungleichungszeichen gilt gar nicht.

viel mehr würde ich jetzt das sandwichlemma vorschlagen.

offensichtlich ist

nun musst du also eine minorante finden, welche gegen 1 konvergiert. kennst du die bernoullische ungleichung?
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

ja kenn ich aber wie soll ich die da anwenden (gilt diese auch wenn ein - da steht statt ein +?), sandwich sagt mir aber wenig bis garnix bzw. ich weis nicht wie ich das hier anwenden könnte.
oder such ich was das größer ist und was das kleiner ist und jeweil gegen 1 konvergiert und dann sag ich das ganze konvergiert gegen 1? aber wie bastel ich mir etwas das größer ist und gegen 1 konvergiert?

jetzt auch nochmal zu anderen Aufgaben:
bei Aufgabe 2 kann ich auch mit deinen Tipps leider nicht viel anfangen, dachte wenn ich auf die ersten beiden Teilaufgabe komme könnte ich die anderne selbst lösen aber ich verstehs nicht wie ich das machen soll. Hier noch die anderen Teilaufgabe
c) Wenn für alle k element N dann konvergiert
d) Wenn konvergent ist und für alle k element N dann gibt es ein N element N so dass konstant ist.

bei Aufgabe 3, möchte ich noch wissen wie ich dasmit der Beschränktheit hinschreiben muss, ahb da echt keine ahnung.

bei der Aufgabe 4 reicht es da wenn ich den limes einfach bestimme, bzw ich erkenne ja beim ersten Schritt das für m gegen unendlich 1 wird, muss ich da noch was beweisesn oder reicht das so (mit L'Hospital wäre es ja klar)
und als ergebnis kommt dann da für n gegen unendlich einfach 1 bleibt 1 raus, passt das?

und noch was ganz allgemeines (aber recht wichtig für mich) warum konvergiert eine folge, wenn ich das ding da mit dem Epsilon Kriterium hinschreiben kann, das kann ich doch immer oder?
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

hi nochmal ich habe jetzt auch nach mind 2h keine ahnung wie ich die 1 mit bernoulli und sandwich lösen kann.(nichtmal wo ich den einsetzen kann habe ja kein plus)
Kann mir bitte jemand mal nen ansatz oder besser einen lösungsweg zeigen damit ich da weiterkommen kann?
Wäre echt klasse!
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

die bernoullische ungleichung gilt für

in deinem fall ist für .

jetzt kannst du sie anwenden oder?
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

kann ich das dann so machen:
Es sei zunächst und es sei
dann gilt:
und da für große k gegen 0 geht steht da:
damit ist der Grenzwert von nach dem Sandwich 1 und also muss der Grenzwert von 1 sein.

Der Fall k=1 ist trivial da
stimmt das so?
wenn nicht oder wenn unübliche schreibweise, zeig mir bitte mal eine lösung, dann verusch ich dann den aufgabneteil 1b (Steht oben noch nicht, sieht aber wie folgt aus:


und noch was ganz allgemeines (aber recht wichtig für mich) warum konvergiert eine folge, wenn ich das ding da mit dem Epsilon Kriterium hinschreiben kann, das kann ich doch immer oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergiert und Grenzwert
Zitat:
Original von oerny
Beweisen sie
hier würde ich das nehmen und eben für x 1 einsetzen, ist der Ansatz ok?

Falls du die Grenzwerte und verwenden darfst, brauchst du diese nur multiplizieren. Augenzwinkern
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergiert und Grenzwert
Zitat:
Original von klarsoweit
Zitat:
Original von oerny
Beweisen sie
hier würde ich das nehmen und eben für x 1 einsetzen, ist der Ansatz ok?

Falls du die Grenzwerte und verwenden darfst, brauchst du diese nur multiplizieren. Augenzwinkern


Zitat:
Original von oerny
und noch was ganz allgemeines (aber recht wichtig für mich) warum konvergiert eine folge, wenn ich das ding da mit dem Epsilon Kriterium hinschreiben kann, das kann ich doch immer oder?

Das mit dem epsilon ist die Definition des Grenzwertes. Hinschreiben kannst du das immer. Ob du das auch zeigen kannst, ist eine andere Frage. Augenzwinkern
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Falls du die Grenzwerte und verwenden darfst, brauchst du diese nur multiplizieren. Augenzwinkern

Aha, das meinst du also auch in dem Thread, dort hattest du dich ja leider nicht erklärt.

Ich halte das allerdings kausal gesehen für etwas merkwürdig, denn wenn man als Definition ansieht, wie folgt dann daraus ? Augenzwinkern
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

hi
also soviel ich weis darf ich das noch nicht benutzen...

stimmt meine Aufgabe so wie ich das hingeschreibne habe oder ann cih das gleich gegen 1 zeigen und nicht über den um weg über 0
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Also fassen wir deinen Weg einfach zusammen:

Es gilt für alle k mit Benutzung der Bernoullischen Ungleichung:


Und damit ist das Sandwich gebacken. Jetzt noch k gegen unendlich. Fertig.
Das ganze ist mit viel Aufwand ein 2-Zeiler. Augenzwinkern
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

ok, nur wegen dem verständniss, die erste 1 kommt vom angegebenen grenzwert? bzw woher kommt die überhaupt?
und wie kann ich das für den 2.Teil nutzen, was ich eben tun soll?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Welche erste 1? Die links? Oder meinst du den ersten, linken Teil der Doppelungleichung, also

?

Bitte präziser formulieren.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

also ich versuch nochmal ;-)
die erste 1 das andere ist ja die folge bzw, anders formuliert, woher weis ich das die folge kleiner gleich 1 ist? das was danach kommt ist logisch, bernoulli, dann seh ich die folge ist kleiner gleich und größer gleich 1 also muss sie genau 1 sein, was dann das sandwich wäre hab ich das richtig verstanden?

und das < epsilon kriterium brauch ich dann ja nicht mehr, hab ja das sandwich.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von oerny
woher weis ich das die folge kleiner gleich 1 ist?

Heidinei. unglücklich

Es gilt:

Jetzt potenziere mit k.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von oerny
woher weis ich das die folge kleiner gleich 1 ist?

Das ist der einfachste Teil überhaupt an der Geschichte... Vielleicht schaust du mal kurz weg, und dann wieder hin, mit besonderen Augenmerk darauf, ob die Basis der Potenz kleiner, gleich oder größer als Eins ist...
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

ich seh das auch, aber darf ich dsa so hinschreiben oder muss ich da was begründen bzw. reicht das so wenn ich das ungefähr so schreib wie klarsoweit?

wie gesagt bin bei dem ganzen sehr unsicher...

und bei dem mit grenzwert 1/e müsste das dann so ähnlich gehn oder gibts da nen anderne trick (irgendwie soll ich das aus teil a ja nutzen können)

und jetzt frag ich nochmal, wie lös ich sowas wie ich bei Aufgabe 2 (oben) habe? durch überlegen und verbale begründung oder oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von oerny
ich seh das auch, aber darf ich dsa so hinschreiben oder muss ich da was begründen bzw. reicht das so wenn ich das ungefähr so schreib wie klarsoweit?

Wer wollte dir das verbieten? Die Tatsache, daß ein negativer Term immer kleiner gleich Null ist, ist in der Mathematik allgemein anerkannt. Big Laugh
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

naja wenn man die augen ganz ganz kurz zu amcht, den kopf fest schüttelt und wieder hinguckt und alles vergisst das man zuvor verucht und gemacht hat sieht das ganze ganz logisch und verständlich aus :-)

aber ich glaub nicht das ich auf sowas auf anhieb kommen würde.... *irgendwiepeinlich*

wie verhält es sich mit der 1b und der 2 bekomm ich dazu auch noch ein tip?

BEVOR ICHS VERGESS!! VIELEN DANK FÜR DIE GEDULD UND HILFE
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

ich seh da keine 1b) verwirrt

und zu 2a,b) habe ich dir doch schon tipps gegeben, zu 2b) eigentlich schon fast die lösung unglücklich

zu 2c) du wirst doch wohl schnell eine folge angegeben können, welche nicht konvergiert, jedoch alle folgenglieder ganzzahlig sind.

zu 2d) das ist schon etwas schwieriger, aber mit der definition des grenzwertes kann man auch leicht nachweisen, dass diese aussage wahr ist.
oerny Auf diesen Beitrag antworten »

also ich weis das mir tips gegeben hast, kann aber leider damit nicht viel bis garnichts anfangen...

die 1b ist etwas versteckt, hatte ich erst weiter unten geschreiben

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