Tangente- Aufgabenstellung

17.11.2007, 18:46

zedreipeo

Tangente- Aufgabenstellung

Hallo,

ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe:

Zeigen Sie: Die Tangente an K in $\begin{eqnarray*} P (u|f(u) \end{eqnarray*}$ schneidet die x Achse in x= u - 1.

und

Wie lässt sich mit dem Ergebnis eine Tangente an K konstruieren ?

Im vorangegangenen Teil der Aufgabe hab ich die Tangente K mit $\begin{eqnarray*} f(x)= e^x*(x-1)+e \end{eqnarray*}$ berechnet. Der Punkt K lautete $\begin{eqnarray*} K (1|e) \end{eqnarray*}$

Mir ist leider nicht ganz klar was verlangt wird. Ich vermute das Punkt P irgdwie K beeinflusst. Wenn ich somit eine neue Funktion berechen könnte würde ich sie = 0 setzen um den Schnittpunkt mit der x achse zu berechnen

17.11.2007, 21:00

outSchool

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RE: Tangente- Aufgabenstellung
Hallo,

die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)= e^x*(x-1)+e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} K(1|e) \end{eqnarray*}$ wird berechnet aus dem Funktionswert für f(1), also

$\begin{eqnarray*} f(1)=e \end{eqnarray*}$

Die Tangente an K in $\begin{eqnarray*} P(u|f(u)) \end{eqnarray*}$ ist die Tangente in $\begin{eqnarray*} K(1|e) \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} f'(1) \end{eqnarray*}$

Jetzt musst Du nur noch zeigen, dass die Tangente in $\begin{eqnarray*} K(1|e) \end{eqnarray*}$ durch den Punkt $\begin{eqnarray*} P(u-1|0) \end{eqnarray*}$ geht. $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ hast Du ja schon.

Du hast 2 Möglichkeiten:

1. Skizze mit den Punkten u, u-1 auf der x-Achse und f(u) und dann über $\begin{eqnarray*} tan(\alpha)=f'(x) \end{eqnarray*}$ die Forderung zu zeigen oder

2. $\begin{eqnarray*} f'(u-1) \end{eqnarray*}$ zu berechnen. Wenn das Ergebnis $\begin{eqnarray*} f'(u-1)=0 \end{eqnarray*}$ ist, hast Du die Forderung gezeigt.

17.11.2007, 21:44

zedreipeo

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Danke, der Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ bezeichnet also quasi nur den Schnittpunkt der Tangente von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit der x- Achse, oder ? Woher weiß ich das ? Wo liegt der Unterschied zwischen einer Tangente an und $\begin{eqnarray*} in \end{eqnarray*}$ einem Punkt. In bedeutet also das sie durch den Punkt durchegehn muss ?

Ok, aber ich muss doch $\begin{eqnarray*} f(u-1) = 0 \end{eqnarray*}$ berechnen oder ?

17.11.2007, 22:20

outSchool

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Hallo,

Zitat:

Zeigen Sie: Die Tangente an K in $\begin{eqnarray*} P(u,f(u)) \end{eqnarray*}$ schneidet die x Achse in x= u - 1.
. . .
Im vorangegangenen Teil der Aufgabe hab ich die Tangente K mit $\begin{eqnarray*} f(x) = (x-1) \cdot e^x + e \end{eqnarray*}$ berechnet.
Wie lässt sich . . . eine Tangente an K konstruieren ?

Die Tangente an K ist: $\begin{eqnarray*} f'(x) = x \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Der Punkt K lautete $\begin{eqnarray*} K(1|e) \end{eqnarray*}$

Ich meine, dass u = 1 ist, weil die Tangente an K gemeint ist. Das ist auch der einzige Wert für u, für den die Forderung erfüllt ist.
Wenn das nicht so ist, poste die gesamte Aufgabe, dann wird der Zusammenhang deutlicher.

17.11.2007, 23:15

zedreipeo

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Gegeben ist die Funktion f mit $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \in R \end{eqnarray*}$ mit Schaubild K.

a,Bestimmen sie die Gleichung der Tangente und Normalen von K in $\begin{eqnarray*} A(1|e) \end{eqnarray*}$

Gleichung der Tangente $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) = e^x(x-1)+e \end{eqnarray*}$
Gliechung der Normalen $\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(x) = - \frac{1}{e^x}*(x-1)+e \end{eqnarray*}$

b, Zeigen Sie: Die Tangente an K in $\begin{eqnarray*} P (u|f(u) \end{eqnarray*}$ schneidet die x Achse in x= u - 1.
Wie lässt sich mit dem Ergebnis eine Tangente an K konstruieren ?

Muss ich etwa eine komplett neueTangente im Punkt P bestimmen ?

18.11.2007, 02:12

outSchool

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Hallo,

zu a)

die Gleichung der Tangente ist:

$\begin{eqnarray*} t(x) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) + f(x_0) \hspace{5mm} \text{ für} \hspace{5mm} P(x_0|f(x_0)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot e^x \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} f'(x) = (x + 1) \cdot e^x \end{eqnarray*}$

Für den Punkt $\begin{eqnarray*} A(1|e) \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} t_1(x) = f'(1) \cdot (x - 1) + f(1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1(x) = 2 \cdot e \cdot (x - 1) + e = 2ex - 2e + e = 2ex - e \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_1(x) = (2x -1) \cdot e \end{eqnarray*}$

zu b)

nun für den Punkt $\begin{eqnarray*} P(u|f(u)) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} t_u(x) = f'(u) \cdot (x - u) + f(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_u(x) = (u+1) \cdot e^u \cdot (x-u) + u \cdot e^u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_u(x) = (ux-u^2+x-u) \cdot e^u + u \cdot e^u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t_u(x) = (ux-u^2+x) \cdot e^u \end{eqnarray*}$

Die Tangente schneidet die x-Achse, d. h.:

$\begin{eqnarray*} t_u(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ux-u^2+x = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{u^2}{u+1} \text{ oder }u-1 = \frac{u^2}{u+1} \end{eqnarray*}$

Die Bedingung ist aber nur erfüllt für $\begin{eqnarray*} u \Rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

18.11.2007, 15:06

zedreipeo

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Ok danke für deine ausführliche Antowrt. Man setze also einfache den Pun ein und bildet dann die Tangenten Gleichung und vereinfach soweit wie möglich.
Nochmal kurz ne andere Frage:

Wenn ich logarhitmieren möchte, also zur Basis e, muss die Basis doch immer postitiv sein, oder ?

z. B müsste ich

$\begin{eqnarray*} 3-e^(x-2) | : (-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3+e^(x-2) | ln \end{eqnarray*}$

rechnen, wenn ich nach x auflösen möchte. Dann ist allerdings 3 negativ und ich kann nicht logarhitmieren

18.11.2007, 17:45

outSchool

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Hallo,

angenommen Du hast die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)= 3 - e^{x-2} \end{eqnarray*}$

und Du willst die Nullstelle(n) berechnen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} 3 - e^{x-2} = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{x-2} = 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln( e^{x-2}) = ln3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x-2 = ln3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = 2 + ln3 \end{eqnarray*}$

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