Koordinatengleichung und Parameterdarstellung

18.11.2007, 02:23

El Micha

Koordinatengleichung und Parameterdarstellung

Guten Abend,
da ich leider am Unterricht krankheitsbedingt nicht teilnehmen konnte, habe ich den Einstieg in das neue Thema in Mathe verpasst. Zwar habe ich am Freitag versucht alles was ich nicht verstehe nachzufragen, aber bei der Hausaufgabe stehe ich vor neuen Problemen.

1a) In einer Ebene liegen die Punkte $\begin{eqnarray*} A(1/-3/5), B(4/-2/12), C(1/3/2), D(2/6/3) \end{eqnarray*}$
Ermittle mithilfe von je dreien dieser Punkte eine Parameterdarstellung der Ebene und zeige, dass auch der vierte Punkt ihr angehört.

b) Zeige, dass alle vier Parameterdarstellungen von Teilaufgabe a) zu äquivalenten Koordinatengleichungen der Ebene führen.

2. Gegeben sind der Punkt P und die Gerade g druch eine Parameterdarstellung mit dem Richtungsvektor v und dem Stützvektor OA.
a) Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an, die durch P und g festgelegt ist.
b) Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene.

$\begin{eqnarray*} P (-3|3|4); g = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

zu 1a)

Ich habe mir erst einmal eine Grundformel zurecht gelegt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \vec{a} + \lambda \cdot (\vec{AB})+ \gamma \cdot (\vec{AC}) \end{eqnarray*}$

Könnte man auch für den zweiten Richtungsvektor BC wählen?

Als Parameterdarstellung bekomme ich dann das heraus:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + \gamma \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um den vierten Punkt zu überprüfen, müsste man ihn nur in die Gleichung einsetzen und das Gleichungssystem auflösen.

Mit der b) und der kompletten zweiten Aufgabe kann ich leider nichts anfangen, ich habe echte Schwierigkeiten überhaupt einen Ansatz zu finden. Ich hoffe ihr könnt mir dementsprechend helfen! Danke Wink

18.11.2007, 10:57

riwe

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RE: Koordinatengleichung und Parameterdarstellung
bis hierher Freude

ja du kannst jeden von AB linear unabhängigen vektor wählen, also auch BC
(aber gewöhnlich nimmt man AB und AC, wenn A, B und C nicht auf einer geraden liegen, sind die beiden vektoren "automatisch" lua.))

b) du sollst mit je 3 punkten ABC, ABD, ACD und BCD die parameterform der ebene erstellen, und dann über die jeweilige koordinatenform zeigen, dass alle 4 darstellungen dieselbe ebene präsentieren.

18.11.2007, 13:08

El Micha

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Danke, riwe!
Ich habe grade noch meinen Freund angerufen und der sagte mir, dass die Teilaufgabe b) der 1. Aufgabe ein zusätzlicher Inhalt sei und nicht gelöst werden müsse. Ich werde die Teilaufgabe trotzdem durchrechnen. Ich kenne jetzt den Ansatz und der Rechenweg sollte keine Probleme aufweisen

zu 2a)

Kann für die Parameterdarstellung der Ebene folgende Grundformel benutzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = (\vec{OA}) + \lambda \cdot (\vec{POA}) + \gamma \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre dieser Schritt richtig?

18.11.2007, 13:24

riwe

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Zitat:

Original von El Micha
Danke, riwe!
Ich habe grade noch meinen Freund angerufen und der sagte mir, dass die Teilaufgabe b) der 1. Aufgabe ein zusätzlicher Inhalt sei und nicht gelöst werden müsse. Ich werde die Teilaufgabe trotzdem durchrechnen. Ich kenne jetzt den Ansatz und der Rechenweg sollte keine Probleme aufweisen

zu 2a)

Kann für die Parameterdarstellung der Ebene folgende Grundformel benutzen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = (\vec{OA}) + \lambda \cdot (\vec{POA}) + \gamma \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -3 \\ 0\end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wäre dieser Schritt richtig?

aber male es so hin

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = (\overrightarrow{OA}) + \lambda \cdot (\overrightarrow{PA}) + \gamma \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

also ohne O unglücklich

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