Verallg. Proukt / Vandermonde Determinante

18.04.2005, 14:18

Afro

Verallg. Proukt / Vandermonde Determinante

Hallo. Ich habe hier eine vandermonde-Matrix über GF(17):

$\begin{eqnarray*} A := det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 16 & 13\\ 1 & 16 & 1 & 16 \\ 1 & 13 & 16 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe gezeigt, dass es sich wirklich um so eine handelt. Jetzt sagt mir das Web, dass ich eine Vandermonde-Determinante einfacher berechnen kann als eine normale Determinante.

Ich habe diese Formel hier gefunden:

$\begin{eqnarray*} det \begin{pmatrix} 1 & x_{1} & ... & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x2 & ... & x_{2}^{n-1} \\ 1 & ... & ... & ... \\ 1 & x4 & ... & x_{4}^{n-1} \end{pmatrix} = \prod_{i<j}^n~(x_{i} - x_{j}) \end{eqnarray*}$

Ich weiß es ist peinlich, aber ich habe keine ahnung wie ich das verallgemeinerte Produkt ausrechnen soll. Alternativ habe ich noch diese Formel hier gefunden:

$\begin{eqnarray*} = \prod_{0 \le i<j \le n-1}^n~(x_{i} - x_{j}) \end{eqnarray*}$

Wäre jemand so lieb und mit mal zu erklären oder einfach hinzuschreiben wie ich das verallgemeinerte Produkt berechne. Der Rest sollte mir dann klar sein.

Danke

18.04.2005, 18:37

flixgott

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was genau verstehst du nicht?! kannst du mit dem produktzeichen nichts anfangen?

das heißt einfach, dass du alle paar xi und xj raussuchst für die i<j gilt. dann berechnest du zu jedem paar die differenz xi-xj. dann hst du ein haufen differenzen und die multiplizierst du dann einfach alle miteinader..

wenn ich dich und deine frage jetzt falsch verstanden hab, dann bitte ich das zu entschuldigen!

18.04.2005, 18:52

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Also wenn schon, dann bitte

$\begin{eqnarray*} = \prod_{1 \le i<j \le n}~(x_{i} - x_{j}) \end{eqnarray*}$

, deine Indizes laufen ja von 1 bis n. Für n=4 hier lautet das ausführlich

$\begin{eqnarray*} (x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_1-x_4)(x_2-x_3)(x_2-x_4)(x_3-x_4) \end{eqnarray*}$

Wenn ich mich nicht täusche, ist da aber noch ein Vorzeichenfehler beim Gesamtergebnis drin, zumindest für bestimmte n - also schau nochmal genau nach. verwirrt

18.04.2005, 22:51

Afro

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Erstmal danke an euch beiden.

Zitat:

Wenn ich mich nicht täusche, ist da aber noch ein Vorzeichenfehler beim Gesamtergebnis drin, zumindest für bestimmte n - also schau nochmal genau nach

Was meinst Du? Alles was ich an konkreten zahlen habe ist doch in GF(17), da haben wir sozusagen keine vorzeichen

18.04.2005, 23:01

Afro

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Mir ist irgendwie nicht wirklich klar wie das mit den $\begin{eqnarray*} x_{i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{j} \end{eqnarray*}$ genau gemein ist. Ich verstehe also das Produktzeichen nicht wirklich.

Ich kenn es eben so, dass eine "Zelle" einer Matrix durch i,j-Koordinaten (i = Zeile, j = Spalte) adressiert wird. Die Schreibweise ist mir einfach nicht klar und dadurch natürlich auch nicht, welche $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} x_{4} \end{eqnarray*}$ der freundliche Weltraumreisende Mr. Arthur Dent damit meint?

Ich wäre für weitere Hilfe dankbar. Gibt es dazu anschauliches im Netz irgendwo oder kann mir jemand einfach mal für die gegebene Aufgabe schreiben wie er das ausführlich hinschreiben würde?

Ich danke euch nochmals und hoffe, dass Ihr mir hier auch weiterhin weiterhelfen könnt.

PS: das mit dem n-1 unter der PI-zeichen war ein versehen ;-)

19.04.2005, 18:11

flixgott

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damit sind deine element aud der matrix, die du selbst oben angegeben hast, gemeint (sie stehen immer an der i.ten bzw. j.ten stelle in der zweiten 2 spalte.)

das produktzeichen heißt, dass du alle terme miteinander multipliziern mußt. arthur dent hat das in seinem post für n=4 gemacht!

ohne persönlich werden zu wollen, du solltest dich vielleicht erstnochmal mit den grundlagen (produktzeichen, matrizen, indexschreibweisen..) vertraut machen.

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