formel Teilersumme (Arithmetik)

18.11.2007, 11:13

Ela.Martin

formel Teilersumme (Arithmetik)

Ich soll eine Formel für die Summe S(a) aller Teiler von a herleiten.
Gegeben $\begin{eqnarray*} a\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} a=p_{1}^{n1} \cdot... \cdot p_{r}^{nr} \end{eqnarray*}$
Hat Jemand einen Tip für mich?
Ich vermute man muss das Summen und das Produktzeichen kombinieren. Aber bei den Grenzen bin ich mir unsicher.

18.11.2007, 11:24

therisen

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RE: formel Teilersumme (Arithmetik)

Zitat:

Original von Ela.Martin
Hat Jemand einen Tip für mich?

Geometrische Summenformel. Es gilt $\begin{eqnarray*} S(p_i^{n_i})=\sum_{k=0}^{n_i} p_i^k \end{eqnarray*}$ .

19.11.2007, 09:23

Ela.Martin

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Das ist soweit klar. Das ist ja sozusagen die Summenformel der Teiler wenn man die Primfaktoren zerlegt.
Jedoch steht in meiner Aufgabenstellung S(a).
Die Lösung habe ich in einem Buch gefunden:
$\begin{eqnarray*} S(a)= \frac{p_{1}^{n_{1}+1}-1}{p_{1}-1} \cdot \frac{p_{1}^{n_{2}+1}-1}{p_{2}-1}\cdot usw. \end{eqnarray*}$
Jedoch benötige ich ja die Herleitung. Und da weiß ich nicht wie ich anfangen soll.

19.11.2007, 09:36

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Sei doch bitte etwas konkreter, was dir nun genau unklar ist: Ist es

die Formel für die Teilersumme für Primzahlpotenzen $\begin{eqnarray*} S(p_i^{n_i}) \end{eqnarray*}$ , wie sie therisen hingeschrieben hat,
ihre Vereinfachung $\begin{eqnarray*} S(p_i^{n_i}) = \frac{p_i^{n_i+1}-1}{p_i-1} \end{eqnarray*}$ als Summenformel einer geometrischen Folge, oder
die Kombination für alle Primfaktoren dann als Produkt $\begin{eqnarray*} S(a) = S(p_1^{n_1}) \cdot \ldots \cdot S(p_r^{n_r}) \end{eqnarray*}$ ?

Vielleicht beantwortet ja auch schon diese Aufzählung einige deiner Fragen.

19.11.2007, 09:57

Ela.Martin

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Ok, Licht ins Dunkel.

Ich sage also eine Zahl a lässt sich in Primfaktoren zerlegen.
Die Summe ist gleich
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=o}^\infty ~ p_{i}^{n_{i}} \end{eqnarray*}$
und um jetzt S(a) und nicht S(p) zu haben muss ich jetzt davor noch ein Produktzeichen schreiben?
Kann man denn das so als Herleitung beschreiben.
Oder muss man bei Herleitungen irgendetwas beachten?

19.11.2007, 11:38

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Zitat:

Original von Ela.Martin
Ich sage also eine Zahl a lässt sich in Primfaktoren zerlegen.
Die Summe ist gleich
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=o}^\infty ~ p_{i}^{n_{i}} \end{eqnarray*}$

Was für eine Summe soll das sein - und vor allem: Wieso bis unendlich???

Bei therisen stand $\begin{eqnarray*} S(p_i^{n_i}) = \sum_{k=0}^{n_i} p_i^k \end{eqnarray*}$ , was man so begründet:

Eine Primzahlpotenz $\begin{eqnarray*} p_i^{n_i} \end{eqnarray*}$ hat als Teiler genau die Primzahlpotenzen $\begin{eqnarray*} p_i^k \end{eqnarray*}$ mit Exponenten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , die kleiner oder gleich dem Exponenten $\begin{eqnarray*} n_i \end{eqnarray*}$ der Zahl selbst ist, d.h., man hat die Teiler

$\begin{eqnarray*} p_i^0=1,\quad p_i^1=p_i,\quad p_i^2,\quad \ldots \quad, p_i^{n_i-1},\quad p_i^{n_i} \end{eqnarray*}$ .

Und das ganze dann eben summiert ergibt die Teilersumme $\begin{eqnarray*} S(p_i^{n_i}) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Ela.Martin
und um jetzt S(a) und nicht S(p) zu haben muss ich jetzt davor noch ein Produktzeichen schreiben?

Irgendwie gehst du mir da zu formal an - du solltest auch den Grund für diese Vorgehensweise verstehen. Um bei deinem Bild zu bleiben: Um wirklich Licht ins Dunkel zu bringen, statt nur im Dunkeln zu stochern.

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