Teilfolgen und Konvergenz

18.11.2007, 11:14

Dunkit

Teilfolgen und Konvergenz

Die Aufgabe ist ganz einfach:

(n jeweils aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ) Es gibt zwei Teilfolgen einer Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} a_{2n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a_{2n-1} \end{eqnarray*}$ . beide konvergieren jeweils gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$
Die Behauptung: $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ konvergiert auch gegen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$

Mein Beweis:
Zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \forall n > n_0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} | (a_{2n}) - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$
bzw $\begin{eqnarray*} | (a_{2n-1}) - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$
(Definition der Konvergenz)
Da aber $\begin{eqnarray*} \{ m | m = 2n; n\in \mathbb{N} \} \cup \{ m | m = 2n+1; n\in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist folgt daraus
$\begin{eqnarray*} | (a_n)_{n \in \mathbb{N}} -a | < \epsilon \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ größer als ein bestimmtes $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Somit konvergiert $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \rightarrow a \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist jetzt aber: Mir kommt der Beweis zu einfach vor! Habe ich vielleicht irgendwo etwas übersehen? Irgendetwas vergessen, was mir den Beweis kaputt macht? ^^

Um Korrektur wird gebeten Big Laugh

18.11.2007, 11:21

kiste

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Das $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ kann für die beiden Teilfolgen verschieden sein. D.h. das musst du noch berücksichtigen.

18.11.2007, 18:22

Dunkit

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Hm dann ist es bei der Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ also zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ das jeweils größere $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ?

19.11.2007, 00:00

kiste

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23.11.2007, 07:12

Lord SZ

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RE: Teilfolgen und Konvergenz

Zitat:

Original von Dunkit

Da aber $\begin{eqnarray*} \{ m | m = 2n; n\in \mathbb{N} \} \cup \{ m | m = 2n+1; n\in \mathbb{N} \} = \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Ich beschäftige mich gerade mit der selben Aufgabe, verstehe aber diese Zeile nicht. Was bedeuten diese m | m?

23.11.2007, 13:15

Teddy

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RE: Teilfolgen und Konvergenz
Ich würde ja gerne antworten, aber wo kriege ich den senkrechten Strich her? Der Formeleditor ist ja sehr schön, aber etwas mager, nicht?

23.11.2007, 13:28

tmo

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mit \mid erzeugst du solch einen senkrechten strich.

wenn dir der formeleditor nicht genügt, dann studiere folgende seite:

http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

ist zwar lange noch keine komplette liste, aber doch schon sehr umfangreich.

23.11.2007, 13:31

klarsoweit

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RE: Teilfolgen und Konvergenz
Der senkrechte Strich ist in diesem Fall ein Trennungsstrich und bedeutet so viel wie "für die gilt ...".

Also $\begin{eqnarray*} \{ m | ...\} \end{eqnarray*}$ bedeutet: bilde die Menge der m, für die gilt ... .

24.11.2007, 14:26

Lord SZ

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Alles klar, dann verstehe ich die Zeile nun. Danke.

Soll wahrscheinlich 2n - 1 heißen und nicht + 1.

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Teilfolgen und Konvergenz

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