es gibt ein kleinstes k ?! |
18.11.2007, 11:42 | Tanja923 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
es gibt ein kleinstes k ?! Aufgabe1: Es seien (B,o) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und x € B ein festes Element. Zeigen Sie: a) Es gibt ein kleinstes k € IN mit x^k = e . (k nennt man die Ordnung von x) b) Ist k die Ordnung von x, so gilt: B = {x, x^2,.....x^k} ist eine Untergruppe von B, die abelsch ist und k Elemente besitzt. zu a) was versteht man genauer unter ( k nennt man die Ordnung von x)? dass k ebenfalls endlich ist? Danke im Vorraus, Tanja |
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18.11.2007, 11:53 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ordnung eines Gruppenelementes x ist definiert als die kleinste natürliche Zahl k, so dass . Nimm mal in (a) an, es gäbe kein k mit . Jetzt betrachte die unendliche Folge . Was kann man über die Folgeglieder sagen? |
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18.11.2007, 13:54 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne Widerspruch geht's doch auch. Man hat endlich viele Gruppenelemente und schaut sich an. EDIT: Übrigens könnte man in (a) einfach sagen: "Jo, k = 0." Aber ich schätze, hier ist |
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18.11.2007, 16:39 | Tanja9887 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
worauf willst du hinaus? ich kann dir leider nicht ganz folgen! "es gibt kein k mit x ^k=e " ?! |
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18.11.2007, 23:38 | zweiundvierzig | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das steht da nicht. Beachte den Konjunktiv, denn er leitet ja einen indirekten Beweis ein. Was folgte denn aus der Annahme für die Ordnung der Gruppe selbst? Edit: Gleichzeitiges Tippen und Denken ist schwer. (s. unten) |
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19.11.2007, 03:15 | WebFritzi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, er leitet einen indirekten Beweis ein. |
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19.11.2007, 15:33 | Tobias | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, WebFritzi hat natürlich Recht, indirekt ist hier garnicht notwendig. Machen wir es also direkt: Wir betrachten die unendliche Folge Da es nur endlich viele Gruppenelemente gibt, muss es geben mit . Machts klick? |
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