es gibt ein kleinstes k ?!

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Tanja923 Auf diesen Beitrag antworten »
es gibt ein kleinstes k ?!
Wie soll moan bei folgender Aufgabe vorgehen? ich habe da kaum ansätze!

Aufgabe1:
Es seien (B,o) eine endliche Gruppe mit neutralem Element e und x € B ein festes Element. Zeigen Sie:

a) Es gibt ein kleinstes k € IN mit x^k = e . (k nennt man die Ordnung von x)

b) Ist k die Ordnung von x, so gilt: B = {x, x^2,.....x^k} ist eine Untergruppe von B, die abelsch ist und k Elemente besitzt.





zu a) was versteht man genauer unter ( k nennt man die Ordnung von x)? dass k ebenfalls endlich ist?


Danke im Vorraus,
Tanja
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ordnung eines Gruppenelementes x ist definiert als die kleinste natürliche Zahl k, so dass .



Nimm mal in (a) an, es gäbe kein k mit . Jetzt betrachte die unendliche Folge . Was kann man über die Folgeglieder sagen?
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne Widerspruch geht's doch auch. Man hat endlich viele Gruppenelemente und schaut sich an.

EDIT: Übrigens könnte man in (a) einfach sagen: "Jo, k = 0." Augenzwinkern Aber ich schätze, hier ist
Tanja9887 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tobias
Die Ordnung eines Gruppenelementes x ist definiert als die kleinste natürliche Zahl k, so dass .



Nimm mal in (a) an, es gäbe kein k mit . Jetzt betrachte die unendliche Folge . Was kann man über die Folgeglieder sagen?



worauf willst du hinaus? ich kann dir leider nicht ganz folgen! verwirrt
"es gibt kein k mit x ^k=e " ?!
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das steht da nicht. Beachte den Konjunktiv, denn er leitet ja einen indirekten Beweis ein. Was folgte denn aus der Annahme für die Ordnung der Gruppe selbst?

Edit: Gleichzeitiges Tippen und Denken ist schwer. (s. unten)
WebFritzi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von zweiundvierzig
denn er leitet ja einen direkten Beweis ein


Nein, er leitet einen indirekten Beweis ein. Lehrer
 
 
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, WebFritzi hat natürlich Recht, indirekt ist hier garnicht notwendig. Machen wir es also direkt:

Wir betrachten die unendliche Folge



Da es nur endlich viele Gruppenelemente gibt, muss es geben mit .

Machts klick?
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