Endliche abelsche Gruppe

18.11.2007, 11:06	flo85	Auf diesen Beitrag antworten »
Endliche abelsche Gruppe Hallo, hier erst einmal die Aufgabe: Sei G eine endliche, abelsche Gruppe. Zeige: a) Zu jeder Untergruppe H von G gibt es eine Untergruppe U von G mit U isomorph zu G/H. Bis jetzt habe ich: G/H ist endliche abelsche Gruppe und daher isomorph zu $\begin{eqnarray} Z/a_1Z \times Z/a_2Z \times ... \times Z/a_nZ \end{eqnarray}$ mit eindeutig bestimmten a_i und eindeutig bestimmtem n. Nach Lagrange gilt nun: $\begin{eqnarray} [G : H] = \frac{\|G\|}{\|H\|} = a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n \end{eqnarray}$ , also teilt das Produkt der a_i die Gruppenordnung. Gibt es ein Element g $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ G mit $\begin{eqnarray} ord(g) = a_1 \cdot ... \cdot a_n \end{eqnarray}$ ? Dass es dieses Element geben KANN ist klar, MUSS es jedoch ein solches geben?

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