Beweis der Konvergenz einer Folge

18.11.2007, 13:01	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis der Konvergenz einer Folge Hallo, komm irgendwie nicht weiter, wäre schön, wenn mir jemand helfen kann Aufgabe: Ist die durch für $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} a_1=\sqrt{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_{n+1}= \sqrt{2+a_n} \end{eqnarray}$ definiete Folge Konvergent? Wenn ja, was ist der Grenzwert? Mein Lösungsansatz: $\begin{eqnarray} a_1= \sqrt{2} =1,41 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_2=\sqrt{2+\sqrt{2} }=1,85 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a_3=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2} }} 1,96 \end{eqnarray}$ Anhand der ersten paar Glieder nehme ist an, dass die Folge Konvergentsteeigend ist. Beweis durch Induktion: Anfang: $\begin{eqnarray} a_n \leq a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{2+a_n} \leq \sqrt{2+\sqrt{2} } \end{eqnarray}$ Nun weiß ich nicht, wie ich die Ungleichheit beweisen soll. Wenn ich das könnte, hätte ich ja schon die Monotonie und die Beschränktheit nach unten bewiesen. Die läuft auf 2 zu, aber wie ich das beweise.. Nur mit der oberen müsste ich mir noch was überlegen.. Danke im Vorraus
18.11.2007, 13:36	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsvorraussetzung: $\begin{eqnarray} a_n < a_{n+1} \Longleftrightarrow 2 + a_n < 2 + a_{n+1} \Longrightarrow \sqrt{2 + a_n} < \sqrt{2 + a_{n+1}} \end{eqnarray}$ und schon steht da unser induktionschritt und um die beschränktheit zu zeigen, nimmst du einfach mal $\begin{eqnarray} a_n > 2 \end{eqnarray}$ an und führst das zu einem widerspruch.
18.11.2007, 13:45	Faelivrin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich persönlich würde hier die einzelnen Teilschritte getrennt voneinander untersuchen, aber du hast mit deiner Annahme schon recht, dass die Folge konvergent ist. Monotonie: Du willst zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_2=\sqrt{2+ \sqrt{2} } > \sqrt{2} = a_1 \end{eqnarray}$ Beweis durch vollständige Induktion. Den I.A. hast du bereits und möchtest jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray} a_{n+2} > a_{n+1} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} a_{n+2}= \sqrt{2+a_{n+1}} > \sqrt{2+a_n} = a_{n+1} \end{eqnarray}$ (nach I.A.) Schön hätten wir die Monotonie. Dann die Beschränktheit: Anhand deiner Testwerte könnte man vermuten, dass $\begin{eqnarray} a_n<2 \end{eqnarray}$ . Das kann man wieder durch vollständige Induktion zeigen. Und nun zur Konvergenz: Du weißt nun, dass deine Folge monoton wachsend und beschränkt ist, also konvergiert sie. Man wählt $\begin{eqnarray} l= \lim_{n \to \infty } a_n \end{eqnarray}$ . Weiterhin ist $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } a_{n+1} = \lim_{n \to \infty } \sqrt{2+a_n} = \sqrt{2+ \lim_{n \to \infty } a_n} \end{eqnarray}$ Diesen Ausdruck musst du nur noch lösen und schon hast du dein Ergebnis. MfG
18.11.2007, 14:05	Luci	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank !

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