Normalverteilt?

18.11.2007, 13:10	donkarabelas	Auf diesen Beitrag antworten »
Normalverteilt? Hallo zusammen! Hab ein nettes bsp um die Werte für eine Normalverteilung zu finden. Meine Dichtefunktion für eine Zufallsvariable X ist gegeben durch $\begin{eqnarray} f_\theta (X) = \frac{3}{x\sqrt{2\pi}} e^{-\tfrac{9}{2} ( \theta -\log{x})^2}~~,x>0 \end{eqnarray}$ . Und nun soll ich folgendes zeigen. $\begin{eqnarray} Y=\log{X} \end{eqnarray}$ ist normalverteilt. Könnte mir einer vl ein bisschen Rat geben. wär sehr nett. lg elias
19.11.2007, 10:11	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt Formeln für Verteilungsfunktion und Dichte transformierter Zufallsgrößen, aber eh man die sich einprägt, kann man das ganze auch selbst schnell herleiten, so wie z.B. hier angeführt: Exponentialverteilung Quelle radioaktiver Strahlen Transformation von Zufallsgrößen Im vorliegenden Fall würde man so starten: $\begin{eqnarray} F_Y(t) = P(Y\leq t) = P(\ln(X) \leq t) = P(X \leq e^t) = F_X(e^t) \end{eqnarray}$ Und für die Dichte nach $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ ableiten, wie üblich unter Nutzung der Kettenregel: $\begin{eqnarray} f_Y(t) = \frac{\dd}{\dd t} F_Y(t) = F_X'(e^t)\cdot \frac{\dd}{\dd t} \left( e^t \right) = f_X(e^t)\cdot e^t \end{eqnarray}$ Und jetzt nur noch in deine gegebene Dichte einsetzen und erkennen, dass es sich um eine Normalverteilung handelt - mit welchen Parametern übrigens? Das kannst du dann ablesen!

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