Natürlicher Kubischer Spline

18.11.2007, 19:31

lodzen

Natürlicher Kubischer Spline

hallo
ich muss das interpolationspolynom ziwschen diesen 4 punkten bestimmen.
(-4/2),(-2/5),(3/0),(5/1)
habe die 12 beidingunen schon herausgefunden und habe jetzt die 12 gleichungen. ich habe aber ka wie ich jetzt des ganze auflösen muss und was dann raus kommt. kann mir vllt einer helfen ?

18.11.2007, 20:07

20_Cent

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Das auflösen ist ein normales Gleichungssystem...

Einfacher ists so:

Setze als Polynom nicht das "normale", sondern folgendes an:

$\begin{eqnarray*} p(x)=a_0+(x+4)a_1+(x+4)(x+2)a_2+(x+4)(x+2)(x-3)a_3 \end{eqnarray*}$

So wirds wesentlich einfacher.
mfG 20

18.11.2007, 20:20

lodzen

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aha das hilft mir net wirklich weiter smile

was soll ich denn da einsetzten bzw wie komme ich da auf die 3 polynome ? ihr müsst wissen dass ich k13 bin und das eg kein thema der schule ist, hab also ka wie sowas funktioniert

18.11.2007, 20:52

20_Cent

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Was denn für 3 Polynome?

Zwischen diesen 4 Punkten gibt es genau ein Polynom vom Grad 3.

Du hast doch jetzt $\begin{eqnarray*} p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3 \end{eqnarray*}$ angesetzt, oder nicht?
Dann die 4 Werte eingesetzt, dann hast du 4 Gleichungen...

Mein Ansatz macht das ganze etwas einfacher, wenn du es dir anguckst, und mal die Werte einsetzt, dann siehst du, was ich meine.
mfG 20

edit: Ich sehe grade, du hast oben von 12 Bedingungen geredet... Wie kommst du auf diese Zahl?
Du hast doch 4 Punkte, also 4 Gleichungen, und das Polynom hat 4 Koeffizienten, das würde ich eher 4 Bedingungen nennen...

19.11.2007, 00:11

lodzen

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ich zähle einfach mal die gleichungen auf smile

-erstma die 4 punkte macht 6 gleichungen
-dann anfang und ende darf keine krümmung haben also 2 ableitung =0 für den ersten und letzten punkt 2 gleichungen
-dann noch die 2 mittleren punkte bei denen die erste und zweite ableitung gleich ist sint nochmal 2 gleichungen und somit hab ich 12

19.11.2007, 00:17

tigerbine

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Möchtest Du vielleicht einen interpolierenden Spline berechnen? Wie man Interpolationspolynome berechnet kannst Du auch dem Workshop [WS] Polynominterpolation-Theorie entnehmen.

19.11.2007, 00:21

lodzen

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ja so stehts zumindest bei der aufgabenstellung und der titel heißt hoffentlich auch so( nicht des ich hier n scheiß erzähle Augenzwinkern

) des problem is irgendwie das es so viele möglichkeiten gibt das ganze auszurechnen und da ich mich das erste mal damit befasse vollkommen überfordert bin^^ bräuchte mal die ganzen buchstaben in den formeln auf mein beispiel bezogen vllt kann ichs mir dann einprägen. ach ja fals sich manche fragen warum ich sowas mache; is für meine facharbeit^^ müsste also wissen wie ich jetzt von den 12 bedingungen auf die polynome komme Hammer

19.11.2007, 00:25

tigerbine

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Was steht da so? Spline? Und wennja, was für ein Spline, linear, quadratisch, kubisch...etc

Bei kubisch dann noch natürlich, periodisch, vollständig?

[quote]dann anfang und ende darf keine krümmung haben also 2 ableitung =0 für den ersten und letzten punkt 2 gleichungen[/quot]

1. Man darf hier auch GROssBUCHSTABEN verwenden. unglücklich

2. Das würde mir einen nat. kubischen Spline suggerieren

3. Bestätigung?

19.11.2007, 00:27

lodzen

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also thema ist kubische spline interpolation und ich glaube natürlich da ja die krümmung von anfang und endpunkt gleich 0 ist oder ?

19.11.2007, 00:34

lodzen

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1. kann gar net groß und kleinschreiben habs durch icq und msn verlernt bzw brauch ich tage dafür^^ hoff mal es ist auch so alles verständlich
2. ja
3. ja

19.11.2007, 00:35

tigerbine

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Dann haben wir ja alle Informationen. Warum nicht gleich so? Augenzwinkern

Hier mal die allgemeine Bedingunsliste:

Zitat:

[WS] Spline-Interpolation - comming soon

Stetigkeits- und Glattheitsbedingungen

Es sollen folgende Bedingungen erfüllt sein:

$\begin{eqnarray*} \text{(4a)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1. \quad S(t_j)=f_j \qquad \qquad \qquad \quad \qquad \qquad j = 0,2,...,n \qquad \quad \text{Interpolationsbedingung 1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2. \quad R_{j-1}(t_j) = R_j(t_j)=:u_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{Stetigkeit in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3. \quad R'_{j-1}(t_j) = R_j'(t_j)=:s_j \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{1x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4. \quad R''_{j-1}(t_j) = R_j''(t_j) \quad \qquad \qquad \qquad j = 1,2,...,n-1 \quad \text{2x stetig differenzierbar in den S-Knoten} \end{eqnarray*}$
____________________________________________________

$\begin{eqnarray*} - \qquad \qquad 4n-2 \quad \text{Bedingungen} \end{eqnarray*}$

Da insgesamt 4n Freiheitsgrade vorhanden sind, müssen noch 2 Bedingungen hinzugefügt werden, um Eindeutigkeit zu erhalten.

Wahl der Eindeutigkeit

$\begin{eqnarray*} \text{(4b)} \end{eqnarray*}$

Natürlicher Spline

$\begin{eqnarray*} S''(t_0) = R_0''(t_0) = 0 \text{ und } S''(t_n) = R_{n-1}''(t_n) = 0 \end{eqnarray*}$

Die Bedingung wird deswegen als natürlich bezeichnet, weil die zweite Ableitung im Wesentlichen die Krümmung einer Funktion darstellt. Daher hat dieser Spline die geringste Krümmung.

Sie erweist sich allerdings als schlecht, da hier dann z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(t) = t^3 \end{eqnarray*}$ nicht durch einen kubischen Spline reproduziert wird.
Periodischer Spline

$\begin{eqnarray*} S'(t_0) = S'(t_n) \text{ und } S''(t_0) = S''(t_n) \end{eqnarray*}$
Vollständiger Spline

$\begin{eqnarray*} s_0:=S'(t_0)=f'(t_0) \text{ und } s_n:=S'(t_n)=f'(t_n) \end{eqnarray*}$

Sofern diese Werte bekannt sind, wird ein kubisches Polynom durch den Spline reproduziert.

19.11.2007, 00:45

lodzen

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hä wie kommst du jetzt auf 16 ? ich hab doch 3 gleichungen(zw punkt 1 und 2, 2 und 3, 3und4) mit je 4 unbekannten also komme ich nur auf 12. wüsste auch nicht welche bedingungen noch dazu kommen könnten hab doch schon alle

19.11.2007, 00:48

tigerbine

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Sorry (ist schon spät^^). Hatte die 4 Punkte gezählt, nicht die dazwischenliegenden 3 Restriktionen, Also 4*3 =12 Hammer

19.11.2007, 00:52

lodzen

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uff danke hab schon gedacht es ist alles zu spät smile

also jetzt hab ich meine bedingungen aber ich kanns immer noch nicht ausrechnen also die 3 polynome

19.11.2007, 00:55

tigerbine

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Na, zunächst einmal ein lineares Gleichungssystem aufstellen. Das muss dann gelöst werden. Da kann man auch "systematisch" vorgehen. Aber diesen Weg zu finden ist wohl die Aufgabe deiner Facharbeit?

19.11.2007, 01:11

lodzen

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sitze heute schon ein paar stunden dran smile

hab schon 3 streckenzüge also 3 lineare gleichungen aufgestellt, dann die punkte quadratisch verbunden(kubische glättung?°?) und jetzt häng ich beim interpolationspolynom schon fast nen ganzen tag fest Hammer

19.11.2007, 01:13

tigerbine

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Das Leben ist hart und ungerecht. Augenzwinkern

Ist dir Literatur gegeben worden?

19.11.2007, 01:14

lodzen

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nö bis jetzt noch nix und irgendwie ist das was ich bisher im internet gelesen hab alles nix für anfänger^^

19.11.2007, 01:20

tigerbine

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Naja, es ist halt auch ein "wenig komplexeres" Problem Augenzwinkern

Kennst Du die newton-Form eines Interplationspolynoms? Wenn nein, dann beschäftige Dich zunächst einmal damit. ([WS] Polynominterpolation-Theorie)

Die brauchen wir hier.

19.11.2007, 01:24

lodzen

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ok werd mir die morgen mal reinziehn und mich dann wieder(hoffentlich mit richtigem ergebnis) melden smile

gute nacht und schonmal ein dankeschön Freude

19.11.2007, 01:30

tigerbine

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19.11.2007, 16:12

lodzen

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mit der formel müsste ich doch aufs richtige ergebnis kommen oder ?
p(x) = [f_0 * ((x-x_1)/(x_0-x_1)) * ((x-x_2)/(x_0-x_2)) * ((x-x_3)/(x_0-x_3))] + [f_1 * ((x-x_0)/(x_1-x_0)) * ((x-x_2)/(x_1-x_2)) * ((x-x_3)/(x_1-x_3))] + [f_2 * ((x-x_0)/(x_2-x_0)) * ((x-x_1)/(x_2-x_1)) * ((x-x_3)/(x_2-x_3))] + [f_3 * ((x-x_0)/(x_3-x_0)) * ((x-x_1)/(x_3-x_1)) * ((x-x_2)/(x_3-x_2))]

19.11.2007, 16:24

tigerbine

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Das ist unleserlich unglücklich

[User-Tutorial] LaTeX für Anfänger

19.11.2007, 17:21

lodzen

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p(x)= $\begin{eqnarray*} f_0\frac{x-x_1}{x_0-x_1}\frac{x-x_2}{x_0-x_2}\frac{x-x_3}{x_0-x_3}+f_1\frac{x-x_0}{x_1-x_0}\frac{x-x_2}{x_1-x_2}\frac{x-x_3}{x_1-x_3}+f_2\frac{x-x_0}{x_2-x_0}\frac{x-x_1}{x_2-x_1}\frac{x-x_3}{x_2-x_3}+f_3\frac{x-x_0}{x_3-x_0}\frac{x-x_1}{x_3-x_1}\frac{x-x_2}{x_3-x_2} \end{eqnarray*}$

19.11.2007, 17:24

tigerbine

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Das ist nicht die Newton-Form, sondern die Lagrange-Form.

19.11.2007, 17:42

lodzen

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und warum kann ich die net hernehmen ? erscheint mir irgendwie leichter als die newton smile

19.11.2007, 17:52

tigerbine

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Weil wir eben für die Spline-Gleichungen die Newton Form brauchen.

19.11.2007, 18:02

lodzen

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na ok aber die kapier ich net so richtig. kannste die mal umschreiben also die punkte einsetzen, nur mal als beispiel damit ich irgendwo anfangen kann

19.11.2007, 18:07

tigerbine

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Was kapierst Du nicht? Was soll ich aufschreiben?

19.11.2007, 18:23

lodzen

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ja so wie bei der larange formel, dass ich nur noch die werte einsetzten muss

19.11.2007, 18:29

tigerbine

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Du unterschätzt den Aufwand so einer Aufgabe. Aber im WS Polynominterpolation + Beispiele steht zum Einstieg reichlich. Das habe ich schon mehrfach verlinkt und tippe es nicht nochmal ab Augenzwinkern

Wenn Du Newton verstanden hast, rechne halt mal die Beispielaufgabe, dann ist Hermite-Newton hier wichtig. Da wir ja die Ableitungen mit rein nehmen müssen.

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