Kreise im Koordinatensystem

18.11.2007, 20:18

Crusher90

Kreise im Koordinatensystem

Abend,

hab folgendes problem

1.) Bestimmen sie die Zahl a so, dass die Gerade g: ax - y = -5 den Kreis k: x² +y² = 5 berührt.

$\begin{eqnarray*} y= ax + 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x² + (ax + 5)² = 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x² + a²x² + 10ax + 25 = 5 / : x² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1 + a² + 10ax/x² + 25/x² = 5/x² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a² + 10ax/x² + 1 + 20/x² = 0 \end{eqnarray*}$

pq Formel

$\begin{eqnarray*} a = -5a/x^{2}+\sqrt{25a²/x^{4}-1-20/x²} \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} a = -5a/x^{2}-\sqrt{25a²/x^{4}-1-20/x²} \end{eqnarray*}$

Falls das bis hier hin richtig ist, weiß ich nicht weiter, falls das falsch ist, wär ich für die richtige rechnung sehr dankbar !!

18.11.2007, 20:48

riwe

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RE: Kreise im Koordinatensystem

Zitat:

Original von Crusher90
Abend,

hab folgendes problem

1.) Bestimmen sie die Zahl a so, dass die Gerade g: ax - y = -5 den Kreis k: x² +y² = 5 berührt.

$\begin{eqnarray*} y= ax + 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x² + (ax + 5)² = 5 \end{eqnarray*}$

Falls das bis hier hin richtig ist, weiß ich nicht weiter, falls das falsch ist, wär ich für die richtige rechnung sehr dankbar !!

bis hierher Freude

nun geht es so weiter

$\begin{eqnarray*} x²(1+a²)+10ax+20=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2}=-\frac{5a}{1+a²}\pm D \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} D=0 \end{eqnarray*}$ , da die gerade tangente sein soll
und aus D=0 kannst du den/die wert(e) für a berechnen.

18.11.2007, 21:17

Crusher90

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also erstmal vielen dank

die Wurzel muss 0 ergeben damit das eine Tangente wird

$\begin{eqnarray*} \sqrt{25a²/(1+2a +a²)-10ax-20} \end{eqnarray*}$

also ich weiß nicht wie ich das weiter vereinfachen soll,
kann man das so denn als Einschränkende Bedingung stehen lassen

->
für alle a die $\begin{eqnarray*} \sqrt{-25a²/(1+2a +a²)-10ax-20} \end{eqnarray*}$ = 0 sind?

18.11.2007, 23:00

riwe

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das ist schon ein kreuz mit der pq-formel

$\begin{eqnarray*} x²(1+a²)+10ax+20=0 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} 1+a²\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²+\frac{10a}{1+a²}+\frac{20}{1+a²}=0 \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x²+px+q=0 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} p=\frac{10a}{1+a²}\quad{ }q=\frac{20}{1+a²} \end{eqnarray*}$

ohne jegliches x, das willst du doch berechnen unglücklich

und damit steht unter der wurzel

$\begin{eqnarray*} \frac{p²}{4}-q=\frac{25a²}{(1+a²)²}-\frac{20}{1+a²}=0\to a=\pm 2 \end{eqnarray*}$

wie man sieht, wenn man auf gleichen nenner bringt und den zähler null setzt

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