geometrische reihe

18.11.2007, 21:10

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

geometrische reihe

Hi leutz,
sagt mal bitte, woran kann ich das feststellen das
$\begin{eqnarray*} \sum^\infty_{k=0}b_k2^{-k}\,\,b_k\in\{0,1\} \end{eqnarray*}$
wirklich eine geometrische reihe ist??

Ich habe im bronstein gelesen dass der quotient aufeinanderfolgender Glieder konstant ist,.. leider weiß ich gerade net wie ich dass hier zeige,..

$\begin{eqnarray*} \frac{b_{k+1}2^{-(k+1)}}{b_k2^{-k}}\overset{!}{=}const \end{eqnarray*}$

danköö für eure müh

18.11.2007, 21:16

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

ach mist, die regel scheint nicht zu greifen da $\begin{eqnarray*} b_k\in\{0,1\}\text{ insbesondere }b_k=0 \end{eqnarray*}$ sein kann,... jemand eine idee wie man es noch machen kann?

grüüße

18.11.2007, 21:20

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit geometrischer Reihe?
Zeigen, dass die Reihe konvergiert ist einfach, schätze dafür geeignet nach oben ab.

Wenn z.B. nun alle b_k=0 sind, dann steht da einfach 0, das ist meiner Meinung nach keine Reihe mehr Augenzwinkern

Augenzwinkern

mfG 20

18.11.2007, 21:20

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Was willst du eigentlich machen? Die Konvergenz der Reihe sollte klar sein, oder? Willst du den Reihenwert wissen?

18.11.2007, 21:28

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich will den reihenwert wissen,... dank mathematica weiß ich
$\begin{eqnarray*} s_x=\sum_{k=0}^xb_k2^{-k}=(1+x)b_0 \end{eqnarray*}$
wegen der konvergenz:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\rightarrow\infty}s_x=\lim_{x\rightarrow\infty}(1+x)b_0=\infty \end{eqnarray*}$
würd ich mal sagen dass sie eher divergiert,...

ok aber wie komme ich jetzt auf (1+x)b_0?

grüße und dank

18.11.2007, 21:35

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sagt Mathematica was falsches:

x=1, b_0=b_1=1,

Linke Seite: b_0+1/2*b_1=3/2
Rechte Seite: 2*b_0=2

mfG 20

PS: wie gesagt, Konvergenz zu zeigen ist trivial.

Anzeige

18.11.2007, 21:52

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut zu wissen das man sich nicht immer auf mathematica verlassen kann,..
zur konvergenz,..
ich nehme ne majorante z.b.: $\begin{eqnarray*} \tilde{s}_x=\sum_{k=0}^x 1\cdot 2^{-k} \end{eqnarray*}$
Die folge der Partialsummen ist monoton wachsend und beschränkt, also konvergent,..
Da die majorante konvergent ist folgt das die reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty b_k2^{-k} \end{eqnarray*}$ konvergiert,..
währ jetzt so mein argument,...

Aber bezgl. der entwicklung habe ich nur eine wage idee,..
danköö

18.11.2007, 22:07

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir jemand büdde n tipp zum reihenwert geben,... bin gerade echt am verzweifeln,...
danköö

18.11.2007, 22:11

Dual Space

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von zeusosc
Gut zu wissen das man sich nicht immer auf mathematica verlassen kann,..

Ein CAS ist höchtens so gut wie der Benutzer. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.11.2007, 22:13

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja... scheint etwas schwieriger zu sein... Hängt ja von b_n ab. Ich glaube nicht, dass es da eine geschlossene Formel gibt. Ich weiß nur, dass das Ergebnis kleiner oder gleich 2 ist.
mfg 20

18.11.2007, 22:35

Tomtomtomtom

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die Folge der b_k zum Beispiel periodisch ist, dann ist das wirklich eine geometrische Reihe, und du kannst den Reihenwert ausrechnen.
(Tipp: Wenn die Periodenlänge z.B. k ist, dann fasse immer k Glieder zusammen)

Für eine allgemeine Folge b_k wird es aber wohl keine Summenformel geben.

18.11.2007, 22:40

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, n gutes Computer Algebra System hat aber auch ne freundlichere symantik Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich versuche gerade zu zeigen das die Majorante $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^x2^{-k}=2-\frac{1}{2^x} \end{eqnarray*}$
ist,..irgendwie fehlt mir da jetzt noch n puzzlestein,. ich melde mich wieder wenn ichs hab,. danke erstmal smile

smile

18.11.2007, 23:01

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Das, was du versuchst zu zeigen, sieht falsch aus.

Kennst du die geometrische Summenformel nicht?

Bzw. direkt den Grenzwert der geometrischen Reihe, das ist noch einfacher...
mfG 20

18.11.2007, 23:36

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es mal bis 1/16 durchgerechnet und daher meine annahme das es stimmt,..

meinst du mit geommetrische summenformel $\begin{eqnarray*} \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ ??

grüüße

18.11.2007, 23:40

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die eine Seite, für die ganze Formel brauchst du auch noch die Summe....

und für q kannst du hier natürlich 1/2 einsetzen...
Dann siehst du auch direkt, dass das konvergiert, und kannst den Grenzwert ausrechnen...
mfG 20

18.11.2007, 23:54

zeusosc

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,. erstmal zu meiner annahme:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^x2^{-k}=2-\frac{1}{2^x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2=\sum_{k=0}^x2^{-k}+\frac{1}{2^x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2=1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{2^x} +\frac{1}{2^x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2=1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{2^{x-1}} +\frac{2}{2^x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2=1+\frac{1}{2}+\ldots +\frac{1}{2^{x-2}} +\frac{2}{2^{x-1}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2=1+\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 2=2\,\,\,\Box \end{eqnarray*}$

Ok und jetzt zur der Summenformel:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^x2^{-x}=\sum_{k=0}^nq^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-\frac{1}{2^{x+1}}}{1-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =2(1-\frac{1}{2^{x+1}})=2-\frac{2}{2^{x+1}}=2-\frac{1}{2^x} \end{eqnarray*}$
hey da kommt ja das gleiche raus smile

smile

19.11.2007, 00:24

20_Cent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann hatteste ja recht, hab mich vertan Augenzwinkern

Augenzwinkern

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »