Magische Matrizen

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Magische Matrizen
Ja, ich bin's mal wieder. Augenzwinkern

Magische Matrizen sind jedem hier vertraut? Ich gehe mal stark davon aus. Also diese drei hier (dienen wohl nur als Beispiel) wurden bei der Aufgabe mitgeliefert.



Und nun die eigentliche Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die Menge aller magischen Matrizen ein Untervektorraum von ist und eine Basis des untervektorraumes bilden.

Jo... der Prof hat uns gebeten, bitte nicht vor diesem Teil des Übungszettels zu kneifen. Aber eigentlich hätte ich schon Lust dazu, es doch zu tun, weil ich ziemlich ratlos bin.

Was den Untervektorraum angeht... nunja da hat man ja die drei Kriterien, die man überprüfen muss, da habe ich also schon eine Vorstellung, wie man das anpacken könnte. Allerdings frage ich mich, wie ich für die "Beweisführung" formal die gesamte Menge aller magischen Matrizen erfassen soll.

Und was die Basis angeht, da bin ich auch völlig ratlos. Nachdem ich überall hin und her gelesen habe, habe ich überlegt, dass ich einmal zeigen muss, dass die drei besagten Matrizen linear unabhängig sind und ein Erzeugendensystem bilden. Zumindest habe ich den ganzen Definitionen der Basis entnommen, dass das Kriterien sind, die erfüllt sein müssen. Ist das soweit richtig?

Falls mir jemand einen kleinen Schubs geben könnte, wäre das nicht übel. smile

Gruß,
Mulder
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du zeigen willst, dass es ein untervektorraum ist musst du ja 3 kriterien zeigen:

1. das nullelement ist enthalten. das sollte klar sein.
2. abgeschlossenheit der addition
3. abgeschlossenheit der multiplikation.

bei 2 nimmst du einfach mal 2 beliebige magische 3x3 matrizen A und B und zeigst dann z.b. das unter der vorraussetzung und auch gilt:

ist ja nicht gerade schwer Augenzwinkern
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo tmo, und schonmal danke für deine Hilfe.

Zitat:
Original von tmo
wenn du zeigen willst, dass es ein untervektorraum ist musst du ja 3 kriterien zeigen:


Ja, das würde ich glaube ich auch hinbekommen. Reicht es im Falle der magischen Matrizen denn aus, wenn ich dies für eine einzige magische Matrix zeige? Es wäre ja nicht unsinnig, weil alle magischen Matrizen ja irgendwo die gleichen Bedingungen erfüllen (weil sie eben relativ gleich sind), aber ich bin mir da nicht so sicher. Du meinst also, wenn ich zeige, dass eine einzige magische Matrix ein Untervektorraum ist, dann sind es auch alle anderen?

Zitat:
Original von tmobei 2 nimmst du einfach mal 2 beliebige magische 3x3 matrizen A und B und zeigst dann z.b. das unter der vorraussetzung und auch gilt:

ist ja nicht gerade schwer Augenzwinkern


Schwer schaut das nicht aus, nein. Augenzwinkern Aber was genau wäre damit denn gezeigt? Wenn man nicht versteht, was sich eigentlich dahinter verbirgt, werden selbst die einfachsten Gleichungen plötzlich schwer. unglücklich
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

eine einzige magische Matrix kann kein Untervektorraum sein, denn ein Vektorraum bezieht sich immer auf eine Menge und 2 Verknüfungen.

und eine magische Matrix ist ja nur ein Element einer solchen Menge.

du müsstest es schon für 2 beliebige magische 3x3 Matrizen zeigen.

die gleichungen spiegeln einfach gerade die bedingung einer magischen Matrix wieder: Die summe der zahlen in einer spalte/zeile/diagonale ist immer gleich.

diese beiden ersten gleichungen beziehen sich dabei repräsentativ auf die erste und zweite zeile von A und B und sind teil der vorraussetzung, denn wir nehmen ja zwei magische Matrizen.

und die letzte gleichung bezieht sich dann auf die erste und zweite spalte von A+B und ist die Behauptung, welche (natürlich mit hilfe der vorraussetzung) bewiesen werden muss.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das mit den Untervektorräumen habe ich glaube ich jetzt soweit.

Dabei musste ich ja nur zeigen, dass die Nullmatrix alle Kriterien einer magischen Matrix erfüllt (tut sie ja), dass zwei magische Matrizen addiert wieder eine magische Matrix ergeben und dass das vielfache einer magischen Matrix auch wieder eine magische Matrix ergibt. Richtig? Das habe ich jetzt gemacht.

Bei der letzten (Teil-)Aufgabe bin ich immer noch eher ratlos. Ich soll es ja für diese drei gegebenen Matrizen zeigen.
Was genau muss ich denn zeigen, damit diese drei Matrizen eine Basis des Untervektorraumes sind?

Dass die linear unabhängig sind, ist doch der erste Schritt, oder? Also beim Beispiel A1 und A2 die erste Spalte:

x_1 + x_2 + x_3 = x_2 - x_3

Wenn ich für alle drei Zeilen ein Gleichungssystem aufstelle und dann zeige, dass es keine Koeffizienten (außer alle null) gibt, für die das Gleichungssystem lösbar ist. Ja?

Sorry, das mit der Basis fällt mir irgendwie echt schwer... unglücklich
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst noch zeigen, dass jede magische Matrix einer Linearkombination von ist. Das ist der einzige nichttriviale Nachweis bei dieser Aufgabe.
 
 
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo therisen,

da keine Einwände kommen, gehe ich mal davon aus, dass mein Ansatz bezüglich der linearen Unabhängigkeit soweit in Ordnung geht, ja? Augenzwinkern

Zitat:
Original von therisen
Du musst noch zeigen, dass jede magische Matrix einer Linearkombination von ist. Das ist der einzige nichttriviale Nachweis bei dieser Aufgabe.


Also ist quasi zu zeigen, dass jede magische Matrix M_k so beschrieben werden kann (in diesem konkreten Fall mit den gegebenen Matrizen):

M_k = c A_1 + d A_2 + e A_3

(c,d,e sind einfach die Keffizienten, ist hoffentlich verständlich) verwirrt
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mulder
Dass die linear unabhängig sind, ist doch der erste Schritt, oder? Also beim Beispiel A1 und A2 die erste Spalte:

x_1 + x_2 + x_3 = x_2 - x_3


Wie du auf die Gleichung kommst sehe ich nicht (habe aber auch keine Zeit das nachzurechnen). Jeder Eintrag liefert dir eine Gleichung, insgesamt hast du also 9 Gleichungen in 3 Unbekannten.

Zitat:
Original von Mulder
Also ist quasi zu zeigen, dass jede magische Matrix M_k so beschrieben werden kann (in diesem konkreten Fall mit den gegebenen Matrizen):


Genau, das wird nach Definition gefordert.
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