Gruppenoperation: trivialen Stabilisator zeigen

19.11.2007, 18:00	mattes	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenoperation: trivialen Stabilisator zeigen Ich habe ein Problem dabei, eine Angabe der Aufgabe zu interpretieren. G sei eine Gruppe mit \|G\|=15. G operiere treu und transitiv auf einer Menge M. Ich möchte nun zeigen, dass M nur den trivialen Stabilisator e besitzt. Mir ist nicht ganz klar, was ich aus der Gruppenordnung schließen kann. Wegen transitiv besteht M nur aus einer Bahn und wegen treu gibt es zu jedem $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} m \in M \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} m^g \neq m \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} m^g \end{eqnarray}$ steht für die Operation von g auf m). Kann mir jemand helfen? Würde mich über jeden Hinweis freuen.
21.11.2007, 18:15	mattes	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat evtl. jemand irgendeinen Tipp für mich - ich komme nämlich nicht weiter Wie kann ich die "15" denn nutzen? Sie ist ungerade. Sie besitzt nur die Primteiler 3 und 5 (also keine Primpotenzen). Aber was kann man daraus folgern? Da \|G\| endlich ist gilt ja $\begin{eqnarray} \|m^G\| = \frac{\|G\|}{\|G_m\|} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} G_m \end{eqnarray}$ der Stabilisator von m ist. Angenommen, $\begin{eqnarray} \|G_m\|=5 \end{eqnarray}$ , dann wäre $\begin{eqnarray} \|M\|=3 \end{eqnarray}$ . Man müsste irgendwie mit der Eigenschaft "treu" zu einem Widerspruch kommen. Aber wie?

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