Problem Vollständige Induktion

19.11.2007, 18:05

Sythus

Problem Vollständige Induktion

Hallo Leute,

ich hab mich an eine vollst. Induktion gewagt und bin nicht sicher ob ich da so richtig verfahre.
Ich komme beim (IS) nicht ganz weiter.
Ich müsste 3 Ausklammern können um zu sagen, das die Induktion gilt.
Oder?
Wär nett wenn mir jemand nen Tipp geben könnte.

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$
Beweisen Sie die folgende Aussage:

$\begin{eqnarray*} 4n³-n \end{eqnarray*}$ ist durch 3 teilbar.

(IA)
$\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 4\cdot 1^3-1=3 \end{eqnarray*}$
Somit teilbar durch 3

(IV)
gelte für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} 4n³-1 \end{eqnarray*}$ durch 3 teilbar,
dann existiert ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , für das gilt $\begin{eqnarray*} 3\cdot m=4n³-n \end{eqnarray*}$

(IB)
zu Zeigen:
x-->x+1
$\begin{eqnarray*} 4(n+1)³-(n+1)=3\cdot m \end{eqnarray*}$

(IS)
$\begin{eqnarray*} 4(n+1)³-(n+1)=4(n²+2n+1)(n+1)-(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =4[n³+3n²+3n+1]-(n+1)=4n³+12n²+12n+4-n+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =4n³+12n²+11n+5 \end{eqnarray*}$

19.11.2007, 18:09

tmo

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es ist $\begin{eqnarray*} 4(n+1)^3 - (n+1) = 4n^3-n + (12n^2 + 12n + 4 - 1) = 3m + (12n^2 + 12n + 3) \end{eqnarray*}$

nun schau dir mal den term in der klammer an. was kannst du über ihn aussagen bzgl. der teilbarkeit durch 3?

19.11.2007, 18:15

WebFritzi

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RE: Problem Vollständige Induktion

Zitat:

Original von Sythus
(IS)
$\begin{eqnarray*} 4(n+1)³-(n+1)=4(n²+2n+1)(n+1)-(n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =4[n³+3n²+3n+1]-(n+1)=4n³+12n²+12n+4-n+1 \end{eqnarray*}$

Du hast schlicht und ergreifend falsch gerechnet. -(a + b) = -a - b.

19.11.2007, 18:22

Sythus

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$\begin{eqnarray*} 3m+(12n²+12n+4)=3m+3(4n²+4n+1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (4n²+4n+1) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} m \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Somit q.e.d

reicht das aus?
Danke für die berichtigung, war aber auch ein doofer Rechenfehler.

Vielen dank schonmal

19.11.2007, 18:35

tmo

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aber die klammer als m zu bezeichnen ist nicht glücklich, denn m benutzt du ja schon.

19.11.2007, 18:37

Sythus

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alternativ?
kann ich die letzte Zeile weglassen - gilt es dann auch als bewiesen?

Danke tmo, du warst mir schon oft eine große Hilfe!
Ist der rest, also (IA),(IV),(IB) so wie ich das ausgeführt habe in ordnung?

19.11.2007, 18:39

tmo

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in der IB verwendest du auch schon m. benutze doch einfach $\begin{eqnarray*} m_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ oder was auch immer Augenzwinkern