Relationen --> Ordnungs-/Äquivalenzrelation

19.11.2007, 20:15

poochy

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Relationen --> Ordnungs-/Äquivalenzrelation

Nabend.

Hab mal eine "paar" Fragen zu Relationen.

Es Sei gegeben A={a,b,c,d} Geben Sie - wenn möglich - eine (möglichst einfache) Relation R ungleich 0 auf A an, die

1.) nicht reflexiv, nicht symmentrisch und nicht transitiv ist

reflexiv bedeutet ja a~a, veranschaulicht in einem gerichteten graph, einfach bei jedem Knoten einen Kringel. Damit es nicht reflexiv ist, einfach alle kringel weglassen, richtig?

bei nicht symmetrisch darf halt kein Pfeil auf den Knoten zurückkommen, von dem er auch ausgeht, right?

und wenn ich dann alles drei zusammentue, veranschaulicht in einem gerichteten Graphen wären es ja einfach nur die 4 Knoten: a,b,c und d und z.b. eine Kante von a nach b.
Damit wäre alles erfüllt, sehe ich das richtig?

2.) eine Relation angeben die Äquivalenz UND Ordnungsrelation ist:
Äquivalenzrelation bedeutet: die relation muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Ordnungsrelation bedeutet die relation muss reflexiv, anti-symmetrisch und transitiv sein.

Eine Relation kann zwar symmetrisch und antisymmetrisch sein, zusätzlich noch reflexiv, z.b. nur noch die "kringel" auf sich selbst, aber sonst dürfen ja keine Kanten mehr da sein.
Ist die Relation denn dann auch transitiv?
Also geht es, dass eine Relatin Äqui UND Ordnungsrelation ist?

3.)

Auf der Menge Z ist eine Relation R erklärt durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \Leftarrow \Rightarrow xy \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Ist R eine Äquivalenzrelation?

Ist hier gemeint: Alle Zahlen größer/gleich 0, ob die zueinander transitiv//symmetrisch und reflexiv sind?

Und wie würde man sich das bildlichen, also in einem gerichteten graphen veranschaulichen?

Das war es erstmal Big Laugh

Big Laugh

sorry das es so lang geworden ist smile

smile

Kommt wahrscheinlich noch was hinzu Big Laugh

Big Laugh

Dank schonmal

19.11.2007, 20:32

Abakus

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RE: Relationen --> Ordnungs-/Äquivalenzrelation

Zitat:

Original von poochy
Es Sei gegeben A={a,b,c,d} Geben Sie - wenn möglich - eine (möglichst einfache) Relation R ungleich 0 auf A an, die

1.) nicht reflexiv, nicht symmentrisch und nicht transitiv ist

reflexiv bedeutet ja a~a, veranschaulicht in einem gerichteten graph, einfach bei jedem Knoten einen Kringel. Damit es nicht reflexiv ist, einfach alle kringel weglassen, richtig?

bei nicht symmetrisch darf halt kein Pfeil auf den Knoten zurückkommen, von dem er auch ausgeht, right?

und wenn ich dann alles drei zusammentue, veranschaulicht in einem gerichteten Graphen wären es ja einfach nur die 4 Knoten: a,b,c und d und z.b. eine Kante von a nach b.
Damit wäre alles erfüllt, sehe ich das richtig?

Gebe die Relation besser als Menge von 2-Tupeln an. Deine Relation ist mir nicht völlig klar, deine Idee hört sich richtig an.

Zitat:

2.) eine Relation angeben die Äquivalenz UND Ordnungsrelation ist:
Äquivalenzrelation bedeutet: die relation muss reflexiv, symmetrisch und transitiv sein.
Ordnungsrelation bedeutet die relation muss reflexiv, anti-symmetrisch und transitiv sein.

Eine Relation kann zwar symmetrisch und antisymmetrisch sein, zusätzlich noch reflexiv, z.b. nur noch die "kringel" auf sich selbst, aber sonst dürfen ja keine Kanten mehr da sein.
Ist die Relation denn dann auch transitiv?
Also geht es, dass eine Relatin Äqui UND Ordnungsrelation ist?

Ja, die "Diagonale" ist beides. Auch hier solltest du die Relation exakt hinschreiben.

Zitat:

3.)

Auf der Menge Z ist eine Relation R erklärt durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \Leftarrow \Rightarrow xy \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Ist R eine Äquivalenzrelation?

Ist hier gemeint: Alle Zahlen größer/gleich 0, ob die zueinander transitiv//symmetrisch und reflexiv sind?

Und wie würde man sich das bildlichen, also in einem gerichteten graphen veranschaulichen?

Hier musst du alle 3 Eigenschaften der Reihe nach untersuchen. Transitiv usw. ist stets die Relation, nicht die Zahlen selbst.

Veranschaulichen lässt sich eine Äquivalenzrelation etwa durch Angabe der Äquivalenzklassen, d.h. der Mengen jeweils in Relation stehender Elemente.

Grüße Abakus smile

smile

19.11.2007, 21:16

poochy

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Zitat:

Ja, die "Diagonale" ist beides. Auch hier solltest du die Relation exakt hinschreiben.

Wie würde man das denn hinschreiben?

und zu 3.)

In welcher beziehung stehen denn die element?
Ist hier einfach nur der Nachfolger gemeint?

Und wie stellt man die Äquivalenzklassen auf?

Meinst du (1,1),(1,2),(1,...) ist eine Äquivalenzklasse
(2,1),(2,2),(2,...) ist die zweite Äquivalenzklasse, usw.?

19.11.2007, 21:37

poochy

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1.)
ahh moment, ich idi. Du meinst für das erste R={{a,a},{b,b},{c,c},{d,d}}, so schreiben. Ok. Das wäre mein Vorschlag.

2.)
Aber bei der Ordnungs und Äquivalenzrelation, weiß ich nicht so recht wie man das hinschreiben soll.

Deine Idee mit der Diagonalen hört sich gut an, bloss wie schreibt man die im zweier Tupel-ding-da?

3.)
Meine Fragen zu drei bleiben auch smile

smile

19.11.2007, 22:39

Abakus

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Zitat:

Original von poochy
1.)
ahh moment, ich idi. Du meinst für das erste R={{a,a},{b,b},{c,c},{d,d}}, so schreiben. Ok. Das wäre mein Vorschlag.

Hier hast du die Diagonale von $\begin{eqnarray*} M = \{a, b, c, d\} \end{eqnarray*}$ angegeben (keine geschweiften Mengenklammern bei der Angabe der 2-Tupel). Diese ist wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} \Delta_M := \{(x, x) : x \in M\} \end{eqnarray*}$

Als Beispiel zu 1) taugt die aber gerade nicht, denn die Diagonale ist Äquivalenz- und Ordnungsrelation auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

2.)
Aber bei der Ordnungs und Äquivalenzrelation, weiß ich nicht so recht wie man das hinschreiben soll.

Deine Idee mit der Diagonalen hört sich gut an, bloss wie schreibt man die im zweier Tupel-ding-da?

Naja, das ist jetzt unter 1) beantwortet.

Zitat:

3.)
Meine Fragen zu drei bleiben auch smile

smile

Zuerst solltest du abchecken, ob überhaupt eine Äquivalenzrelation vorliegt.

Die zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gehörige Äquivalenzklasse ist ansonsten so definiert:

$\begin{eqnarray*} [x] := \{y : y \in M \text{ und } (x, y) \in R\} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

smile

19.11.2007, 22:59

poochy

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Zitat:

1.)
Hier hast du die Diagonale von $\begin{eqnarray*} M = \{a, b, c, d\} \end{eqnarray*}$ angegeben (keine geschweiften Mengenklammern bei der Angabe der 2-Tupel). Diese ist wie folgt definiert:
$\begin{eqnarray*} \Delta_M := \{(x, x) : x \in M\} \end{eqnarray*}$

Als Beispiel zu 1) taugt die aber gerade nicht, denn die Diagonale ist Äquivalenz- und Ordnungsrelation auf $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

Mooooment

Big Laugh

Bin nich so bewandert in der Mathematischen schreibweise.
Die "Diagonale", wenn man es sich nun mal bildlich vorstellt, verbindet Knoten a mit knoten b. Knoten b mit Knoten c. Knoten c mit knoten d und jeweils einer "Schlinge" (die Kante auf sich selbst).
Ja?

Zitat:

3.)
Zuerst solltest du abchecken, ob überhaupt eine Äquivalenzrelation vorliegt.

Die zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gehörige Äquivalenzklasse ist ansonsten so definiert:

$\begin{eqnarray*} [x] := \{y : y \in M \text{ und } (x, y) \in R\} \end{eqnarray*}$

Grüße Abakus smile

smile

Nochmal... mooooment Big Laugh

Big Laugh

du hast mich abgehängt beim doppelpunkt nach definiert. Könntest du das bitte etwas weiter ausführen?
Am liebsten an einem Beispiel. Einem einfachen smile

smile

Dankeschön schonmal Abakus smile

smile

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19.11.2007, 23:29

Abakus

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Zitat:

Original von poochy
Die "Diagonale", wenn man es sich nun mal bildlich vorstellt, verbindet Knoten a mit knoten b. Knoten b mit Knoten c. Knoten c mit knoten d und jeweils einer "Schlinge" (die Kante auf sich selbst).
Ja?

Nein. Die Diagonale besteht nur aus den Schlingen, wenn du die Analogie zu Graphen haben möchtest.

Zitat:

Nochmal... mooooment Big Laugh

Big Laugh

du hast mich abgehängt beim doppelpunkt nach definiert. Könntest du das bitte etwas weiter ausführen?
Am liebsten an einem Beispiel. Einem einfachen smile

smile

Also stell dir vor, du bist mit Axel, Claudia, und Tom befreundet und Andre und Tina sind auch noch befreundet. Nimm mal an "befreundet" ist eine Äquivalenzrelation (was es in der Realität ja meist nicht ist).

Du bist nun $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Was wäre dann deine Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ ?

Das wäre $\begin{eqnarray*} [x] = \{\text{ x, Axel, Claudia, Tom }\} \end{eqnarray*}$

Daneben gibt es noch die Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [\text{ Andre }] \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

smile

20.11.2007, 14:55

poochy

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Um damit nochmal auf die Aufgabe zu kommen:

Auf der Menge Z ist eine Relation R erklärt durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \Leftarrow \Rightarrow xy \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Ist R eine Äquivalenzrelation? (mit Beweis)

Ist es hier jetzt so gemeint, dass man ein Hasse-Diagramm zeichnet, wobei die Zahlen 0,1,2,...,n (alle Zahlen größer/gleich Null) die Knoten sind und die jeweils verbunden mit einer Kante?

Also Knoten 0 mit 1
1 mit 2
2 mit 3
das sich da eine Linie ergibt?
Also in etwa so :
o----o-----o----o--- usw.

smile

smile

Und wie würde man das Beweisen?

20.11.2007, 17:36

Abakus

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Zitat:

Original von poochy
Auf der Menge Z ist eine Relation R erklärt durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \Leftarrow \Rightarrow xy \geq 0 \end{eqnarray*}$ .
Ist R eine Äquivalenzrelation? (mit Beweis)

Ist es hier jetzt so gemeint, dass man ein Hasse-Diagramm zeichnet, wobei die Zahlen 0,1,2,...,n (alle Zahlen größer/gleich Null) die Knoten sind und die jeweils verbunden mit einer Kante?

Also Knoten 0 mit 1
1 mit 2
2 mit 3
das sich da eine Linie ergibt?
Also in etwa so :
o----o-----o----o--- usw.

Gemeint ist, dass du die gestellte Frage, ob es eine Äquivalenzrelation ist, mit ja/nein beantwortest und dies dann nachweist: sagst du "ja", ist ein Beweis gefordert, sagst du "nein", musst du es widerlegen.

Von deiner Vorstellung mit den Knoten und Kanten solltest du dich lösen, speziell für ein Hasse-Diagramm brauchst du eine Halbordnung, die du hier nicht hast.

Nötig ist also die 3 Eigenschaften einer Äquivalenzrelation herzunehmen, und zu schauen, ob die hier erfüllt sind. Insbesondere bei der Transitivität würde ich ganz genau hinschauen.

Grüße Abakus smile

smile

20.11.2007, 20:35

poochy

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Aber ansonsten ist der Ansatz, mit den Zahlen größer/gleich Null richtig?

Und dem richtig angucken, würde ich entnehmen, dass sie keine Äquivalenzrelation ist ^^

dann wäre (m)ein Beweis:
R ist keine Äquivalenzrelation, da sie nicht transitiv ist.
a >= b
b >= c
aber b ist nicht >= c.

Wobei man hier für a,b,c die natürlichen Zahlen 1,2,3 einsetzt?

Ist das cool so?

20.11.2007, 22:05

poochy

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ok ok

mein vorheriger post, nicht ganz fehlerfrei, habs nun aber glaub ich. Ist aufjedenfall keine Äquivalenzrelation. Wenn nun aber gilt

Auf der Menge Z\{o} ist eine Relation R erklärt durch $\begin{eqnarray*} (x,y) \in R \Leftarrow \Rightarrow xy > 0 \end{eqnarray*}$ .
Ist R eine Äquivalenzrelation?

Diesmal ist es eine Äquivalenzrelation.

Kommen wir jetzt zu den Äquivalenzklassen.

In eine Äquivalenzklasse, kommen ja alle, die untereinander nur verbunden sind. Hätte der ganze Kram, dann nicht nur eine Äquivalenzklasse? Oder für jedes Produkt Ergebnis eine einzelne Klasse?

20.11.2007, 22:16

Abakus

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Die 0 war der kritische Punkt bei der Relation, wie du wohl erkannt hast. Die Transitivität widerlegst du dann durch explizite Angabe eines Beispiels.

Dein neues Beispiel ist eine Äquivalenzrelation, ja. Versuche einmal die Klassen [1] und [-1] anzugeben.

Grüße Abakus smile

smile

20.11.2007, 22:29

poochy

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wäre das dann:

[1] = {(1,1),(-1,-1)}

[-1] = {(-1,1),(1,-1)}

?

20.11.2007, 22:42

Abakus

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Zitat:

Original von poochy
wäre das dann:

[1] = {(1,1),(-1,-1)}

[-1] = {(-1,1),(1,-1)}

?

Siehe zunächst hier: Äquivalenzklasse (Wiki).

Die "1" in [1] ist ein Repräsentant der Klasse, sie ist nicht das Produkt irgendwelcher Elemente. Es ist zB:

$\begin{eqnarray*} [1] = [2] \end{eqnarray*}$ ,

oder anders ausgedrückt:

$\begin{eqnarray*} 1 \in [2],~ 2 \in [1] \end{eqnarray*}$

Die Klassen insgesamt bilden eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

smile

20.11.2007, 22:59

poochy

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brrrr...

es wird spät

ich meld mich morgen nochmal und dann in aller ruhe Big Laugh

Big Laugh

edit:

es lässt mir doch keine Ruhe...
grml

Wiki hilft mir da nicht viel weiter. Bin nicht so bewandert in mathematischen Schreibweisen.

Es ist doch so, dass eine Klasseneinteilung, jeweils Teilmengen von der Hauptmenge sind. Und x,y müssen halt jeweils, in einer dieser Teilmengen liegen.

Ich hab noch nie irgendwie, eine Klasseneinteilung aufgeschrieben, nur dieses verwirrende Mathematische gewusel ^^ gelesen dazu.

Was bedeuten die Ekickgen Klammern um den "Vertreter". Und wie drückt man aus, wie die Klasseneinteilung auszusehen hat?

22.11.2007, 17:29

Abakus

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Zitat:

Original von poochy
Es ist doch so, dass eine Klasseneinteilung, jeweils Teilmengen von der Hauptmenge sind. Und x,y müssen halt jeweils, in einer dieser Teilmengen liegen.

Genau. Entscheidend ist noch, dass die Teilmengen jeweils paarweise disjunkt sein müssen.

Zitat:

Ich hab noch nie irgendwie, eine Klasseneinteilung aufgeschrieben, nur dieses verwirrende Mathematische gewusel ^^ gelesen dazu.

Was bedeuten die Ekickgen Klammern um den "Vertreter". Und wie drückt man aus, wie die Klasseneinteilung auszusehen hat?

Du musst das Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und die durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ repräsentierte Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ unterscheiden. Diese Unterscheidung ist hier durch die eckigen Klammern sichtbar gemacht, d.h. $\begin{eqnarray*} [x] \end{eqnarray*}$ meint die Äquivalenzklasse und nicht das Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Ansonsten kannst du zB auch einen Oberstrich oder sonstwas zur Kennzeichnung nehmen: $\begin{eqnarray*} \overline{x} \end{eqnarray*}$ . Es muss nur vorher vereinbart sein, wie die Schreibweise nun sein soll.

Die Klasseneinteilung kannst du einfach angeben, zB:

$\begin{eqnarray*} M = \{1, 2, 3, 4\}, [1] = [2] = \{1, 2\}, ~[3] = [4] = \{3, 4\} \end{eqnarray*}$ .

Hier gibt es 2 Klassen, jede der Klassen hat 2 Elemente, die diese repräsentieren.

Grüße Abakus smile

smile

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