Wert einer Reihe

19.11.2007, 20:36

vektorraum

Wert einer Reihe

Hi!

Kann man auf möglichst einfache Weise zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}~\sum_{k=1}^{n}\cfrac{1}{k+n}=\ln 2 \end{eqnarray*}$

Soll das morgen Erstsemestlern erklären, welche die Beschränktheit und Monotonie von

$\begin{eqnarray*} a_n:=\sum_{k=1}^{n}\cfrac{1}{k+n} \end{eqnarray*}$

zeigen sollten. Habt ihr eine gute Idee? So viele Sätze haben die noch nicht parat.

Dankeschön Wink

19.11.2007, 22:21

Dual Space

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RE: Wert einer Reihe
Also Monotonie ist ein Leichtes, deswegen wirst du nicht fragen - aber schon bei der Beschränktheit fällt mir spontan nichts ein. Vom Grenzwert erst gar nicht zu sprechen. Erstaunt2

Btw. von einem Reihenwert würde ich hier nicht sprechen wollen, da die Summanden alle samt von n abhängen.

19.11.2007, 22:28

20_Cent

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Ich habe den Grenzwert auch noch nicht gesehen...
mfg 20

edit: Nach Maple ist der Wert der n-ten Partialsumme $\begin{eqnarray*} \Psi (2n+1)-\Psi (n) \end{eqnarray*}$ , mit der Digamma-funktion, der Grenzwert ist ln(2), das ist richtig.

19.11.2007, 22:32

vektorraum

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RE: Wert einer Reihe
Ja klar, nicht Reihe Forum Kloppe

Mmhh, weiß auch nicht. Dachte nur es gibt eine schöne Abschätzung oder so, so dass man den Wert bestimmen kann. Aber wenn es nicht geht, dann halt nicht. Wäre eine schöne Überleitung zu besonderen Werten von endlichen Summen gewesen Augenzwinkern

19.11.2007, 22:35

Tomtomtomtom

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So schwer kann das nicht sein, ich habe das glaub ich mal als Klausuraufgabe gesehen. Aber sicher bin ich mir nich. Integralkriterium kennen die auch noch nicht oder? Damit folgt zumindest die Beschränktheit sehr leicht. Wie siehts denn mit der Taylorreihe aus, geht das irgendwie?

19.11.2007, 22:44

vektorraum

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Alles klar, dann wird das doch nicht auf so einfachem Weg gehen wie ich eingangs dachte. Da werde ich wohl noch warten müssen.

Aber trotzdem danke!

19.11.2007, 23:16

Leopold

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Teile das Intervall $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gleiche Teile und betrachte zu dieser Zerlegung die Untersumme des Integrals $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{1+x} \end{eqnarray*}$ .

20.11.2007, 00:00

Tomtomtomtom

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Du meinst wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \int_0^1 \frac{\mathrm{d}x}{n+x} \end{eqnarray*}$ .

Edit: Ah nein, hab mich getäuscht, du hast natürlich völlig recht. Aber man muß die Obersummen nehmen.

20.11.2007, 11:06

klarsoweit

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RE: Wert einer Reihe

Zitat:

Original von vektorraum
Soll das morgen Erstsemestlern erklären, welche die Beschränktheit und Monotonie von

$\begin{eqnarray*} a_n:=\sum_{k=1}^{n}\cfrac{1}{k+n} \end{eqnarray*}$

zeigen sollten. Habt ihr eine gute Idee?

Ersteres zeigst du mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+n} < \frac 1 n \end{eqnarray*}$ .
Das zweite mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n > 0 \end{eqnarray*}$ .

20.11.2007, 15:58

WebFritzi

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Das ist jetzt schon das dritte mal in kürzester Zeit, dass ich diese Aufgabe hier rumgeistern sehe (außer dem ln(2) natürlich)...

20.11.2007, 19:37

vektorraum

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RE: Wert einer Reihe

Zitat:

Original von klarsoweit
Ersteres zeigst du mit der Abschätzung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k+n} < \frac 1 n \end{eqnarray*}$ .
Das zweite mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} - a_n > 0 \end{eqnarray*}$ .

Danke klarsoweit, dass sollte ja schon gezeigt werden Augenzwinkern

Es ging nur um den Wert.

@Webfritzi: Gabs da eine Lösung?

@Leopold: Danke für den Hinweis, ich werde das mal ausprobieren.

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