stetige Fkt mit kompakten Träger

19.11.2007, 22:35

daroox

stetige Fkt mit kompakten Träger

Hallo Zusammen smile

Ich habe folgende Aufgabe oder Beispiel im Analysis 3 Forster gelesen, dort steht mein Lieblingssatz wie man sich leicht überlegt/sieht. Kann jemand bitte Schritt für Schritt einmal zeigen traurig

Sei $\begin{eqnarray*} U \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ eine offene Teilmenge und $\begin{eqnarray*} f: U \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine stetige Funktion mit kompakten Träger in U. Wir definieren eine Funktion $\begin{eqnarray*} F: \mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} durch \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(x)=\begin{cases}f(x) & x\in U\\ 0 & x\not\in U \end{cases} \end{eqnarray*}$
Zu zeigen ist, dass F eine stetige Funktion mit kompakten Träger in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

vielen Dank
LG

19.11.2007, 22:45

20_Cent

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Da f(x) in U kompakten Träger hat, gibt es eine kompakte Menge K in U, auf deren Rand die Funktion f=0 ist, außerdem auf U\K. Wenn du nun nach außen die Nullfunktion ergänzt, dann geht das selbstverständlich stetig über.
mfG 20

20.11.2007, 13:54

daroox

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danke,
das ist ja einleuchtend.
Wie würde man das halt etwas formaler machen? smile

20.11.2007, 15:53

Dual Space

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Zitat:

Original von daroox
Wie würde man das halt etwas formaler machen?

Nimm an F wäre unstetig und führe dies auf den Widerspruch, dass U dann nicht offen sein kann.

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stetige Fkt mit kompakten Träger

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