Auflösen einer Summe

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19.11.2007, 23:59	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
Auflösen einer Summe hi leute! ich hab mit einem kollegen ein beispiel um ein haar glöst - an einer summe sind wir gescheitert. kann mir vl. jemand helfen folgende Summe "aufzulösen": $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k2^k}\cdot s^k \end{eqnarray}$ Dass $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{1}{k2^k}=~ln\,2 \end{eqnarray}$ gilt, ist mir klar. jedoch stört mich das $\begin{eqnarray} s^k \end{eqnarray}$ . Hat jemand vl eine Idee? PS: kann sein, dass das gleiche Prob. von meinem Kollegen in einem anderen Forum gepostet wird. ich weiß aber nicht in welchem!!
20.11.2007, 00:02	20_Cent	Auf diesen Beitrag antworten »
Hast du keine Einschränkungen an das s?
20.11.2007, 00:14	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach k ableiten wäre denke ich ne gute Idee.
20.11.2007, 00:15	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
ajaa genau, da das eine erzeugerfunktion ist (ich weiß, gehört nicht in dieses forum, aber für den fall ist das ja egal), ist s zwischen 0 und 1
20.11.2007, 00:17	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
sry, meine erzeugende funktion! Was würd mir ableiten nützen?
20.11.2007, 00:22	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Unter gewissen Bedingungen kannst du Summen gliedweise differenzieren und integrieren. Du hast nach dem ableiten nach k einen Summe die 1.) gliedweise integriert deine eigentliche Summe darstellt 2.) deren explizite Darstellung leicht ausgerechnet werden kann. Dann kannst du auf der einen Seite diese Summe integrieren (und erhältst deine ursprängliche), und auf der anderen Seite den expliziten Ausdruck (der damit eine Lösung für dein Problem ist). Das muß man natürlich sauber begründen. Kennst du Potenzreihen?
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20.11.2007, 00:28	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
sowas habe ich noch nie gemacht! Könnt ihr mir hier vl. helfen bzw. einen ansatz geben? Die Potenzreihen kenn ich. In Der Summe kommt ja die Potenzreihe des Logarithmus und der geometrischen Reihe vor!
20.11.2007, 00:37	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Auflösen einer Summe OK vergiss es, ich habe da etwas übersehen und eine falsche Lösung bekommen. Aber es ist noch viel einfacher. Schreib die Summe mal als $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \left(\frac{s}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ Kommt dir das bekannt vor?
20.11.2007, 00:47	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
mir kommts deswegen bekannt vor, weil ich das auch schon aufgeschrieben hab, nur weiter hab ich nicht mehr gewusst g irgendwas mit einer geometrischen reihe???
20.11.2007, 00:56	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Berechne mal die Taylorreihe (im Punkt 0) von ln(1-x). Entweder zu Fuß, oder indem du (-x) in die dir hoffentlich bekannte Potenzreihenentwicklung von ln(1+x) einsetzt. Danach sollte dir hoffentlich ein Licht aufgehen.
20.11.2007, 01:21	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
soweit warn wir auch schon, das wir dachten: $\begin{eqnarray} ln(2-s) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \left(\frac{s}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ das stimmt doch aber nicht, oder!?
20.11.2007, 01:23	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Mach doch mal das was ich gesschrieben habe: $\begin{eqnarray} \ln(1-x)=ln(1+(-x))= \ldots \end{eqnarray}$
20.11.2007, 01:23	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhh.... der Index!!! $\begin{eqnarray} [latex]ln(2-s) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \left(\frac{s}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ +~ln/,2[/latex]
20.11.2007, 01:25	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
ahhhhh.... der Index!!! $\begin{eqnarray} ln(2-s) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \left(\frac{s}{2}\right)^k+~ln\,2 \end{eqnarray}$
20.11.2007, 01:29	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt kann ihc nicht nachvollziehen, was du gemacht hast, aber es stimmt ^^ Und nun weiter?
20.11.2007, 01:34	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
wie hättest dus vorgeschlagen? ich würd jez mal sagen: $\begin{eqnarray} -ln(\frac{2-s}{2}) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \left(\frac{s}{2}\right)^k \end{eqnarray}$ und fertig =)
20.11.2007, 01:42	Tomtomtomtom	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Wenn du das Minus noch in den Logarithmus ziehst, sieht es noch eleganter aus ^^
20.11.2007, 01:44	Summenlöser	Auf diesen Beitrag antworten »
dankeeeee!!! =)
20.11.2007, 08:15	DaddyD	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr interessant! Man gehe davon aus, dass dies die "Erzeugende Funktion" ist. Muss man dann die gesamte Funkion ableiten, um auf den Erwartungswert (s=1) zu kommen??? Denn es heißt ja, dass die "Erzeugende Funktion" $\begin{eqnarray} G(s)=E(s^{x})=\sum_{k=1}^n~ P_{x}(X=k)s^{k} \end{eqnarray}$ ist. In meinen Lehrbüchern steht oft geschrieben, dass sich die Ableitung nur auf das s^{k} bezieht! zB $\begin{eqnarray} G(s)'=\sum_{k=1}^n~kP_{x}(X=k)s^{k-1} \end{eqnarray}$ Geht man dann davon aus, dass $\begin{eqnarray} P_{x}(X=k) \end{eqnarray}$ eine Folge von Zahlen ist??? In diesem Fall (hier: Beitrag) ist ja eine Summe als $\begin{eqnarray} P_{x}(X=k) \end{eqnarray*}$ gegeben. mfg
20.11.2007, 10:00	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Es wird nach $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ abgeleitet. $\begin{eqnarray} P(X=k) \end{eqnarray}$ ist nicht von $\begin{eqnarray} s \end{eqnarray}$ abhängig, also diesbezüglich als Konstante anzusehen - also läuft alles ganz normal, ohne irgendwelche vermeintlichen Sonderregeln.

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