Problem beim Vereinigen von Mengen

20.11.2007, 00:03

kaffee

Problem beim Vereinigen von Mengen

hallo ihrs nachdem ich mein letzes thema mangels zeit etwas vernachlässigt habe schreite ich nun zum zweiten streich Augenzwinkern

Gegeben:
$\begin{eqnarray*} A=\{x \in \mathbb{R} : \frac{x+4}{x+1}<3\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B = \{x \in\mathbb{R} : \frac{1}{\mid 2-x \mid } < \frac{1}{3-2x}\} \end{eqnarray*}$

Gesucht:
$\begin{eqnarray*} A \mbox{ }U\mbox{ }B \end{eqnarray*}$

Nun also mein eigentliches Problem liegt an den sicherlich einfachen Fallunterscheidungen die ich auch schonmal konnte aber irgendwie nicht mehr raffe :P

also ich guck mir erstmal an :
$\begin{eqnarray*} A=\{x \in \mathbb{R} : \frac{x+4}{x+1}<3\} \end{eqnarray*}$
->
$\begin{eqnarray*} \mbox{1.Fall:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1>0 <=> x>-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+4>3x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -2x>-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{aus }x>-1\mbox{ und }x>\frac{1}{2}\mbox{ folgt: }x>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{2.Fall:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1<0 <=> x<-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+4>3x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x>3x-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{aus }x<-1\mbox{ und }x<\frac{1}{2}\mbox{ folgt: }x<-1 \end{eqnarray*}$

Ist das bis dahin richtig???

Und wenn ich jetzt habe:

$\begin{eqnarray*} B = \{x \in\mathbb{R} : \frac{1}{\mid 2-x \mid } < \frac{1}{3-2x}\} \end{eqnarray*}$

Muss ich ja sicherlich auch Fallunterscheidungen machen um die Intervalle zu bekommen..ich vertseh nur nicht wieviele und wo usw Hammer

Wäre schön, wenn ihr mir dazu auch erklären könntet warum ihr welche Fallunterscheidung macht!! Gott

MfG,
kaffee

PS: Frage steht nur hier und nirgends sonst!
PPS: Nach 5mal editieren stimmen jetzt hoffentlich die LaTeX-Sachenz Big Laugh

20.11.2007, 09:53

Teddy

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RE: Problem beim Vereinigen von Mengen
Ich würde umgekehrt vorgehen: Zuerst die Ungleichungen nach x auflösen; das ergibt 3 Wertebereiche für x. Dann vereinigen. Dann dafür sorgen, dass die 3 bzw. 4 Nenner nicht Null werden können (falls das überhaupt möglich ist).

20.11.2007, 11:06

kaffee

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hey teddy,
danke für die schnell antwort!

ich habe allerdings eher ein Grundsätzliches Problem bei den Fallunterscheidungen ich vertsteh halt nicht welche Fallunterscheidungen ich wie bei der Menge B machen soll..und ich will das halt mal mehr oder weniger ausführlich vertstehen um das dann auf ähnliche aufgaben anwenden zukönnen!

MfG,
kaffee

20.11.2007, 11:37

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Zitat:

Original von kaffee
$\begin{eqnarray*} \mbox{1.Fall:} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+1>0 <=> x>-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+4>3x+3 \end{eqnarray*}$

In dieser Zeile begehst du schon den ersten Fehler: Wenn du $\begin{eqnarray*} \frac{x+4}{x+1}<3 \end{eqnarray*}$ mit einem positiven $\begin{eqnarray*} x+1 \end{eqnarray*}$ multiplizierst, kehrt sich das Relationszeichen nicht um!!! Also geht es mit

$\begin{eqnarray*} x+4 < 3x+3 \end{eqnarray*}$

weiter... Ok, zwei Zeilen später machst du noch einen Fehler, der den ersten aufhebt - Schwein muss man haben. Augenzwinkern

Zur Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ : Die linke Seite der Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|2-x| } < \frac{1}{3-2x} \end{eqnarray*}$ ist als Kehrwert eines Betrages auf jeden Fall positiv, also muss die größere (!) rechte Seite auch positiv sein, womit sowieso nur $\begin{eqnarray*} 3-2x>0 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x<\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ zu untersuchen ist. Und in diesem Fall ist dann auch stets $\begin{eqnarray*} 2-x>0 \end{eqnarray*}$ , womit die Betragsauflösung hier nicht mal eine Fallunterscheidung erfordert.

20.11.2007, 17:48

Teddy

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Zitat:

Original von kaffee

ich habe allerdings eher ein Grundsätzliches Problem bei den Fallunterscheidungen ich vertsteh halt nicht welche Fallunterscheidungen ich wie bei der Menge B machen soll..und ich will das halt mal mehr oder weniger ausführlich vertstehen um das dann auf ähnliche aufgaben anwenden zukönnen!

Warum bist du nur so scharf auf Fallunterscheidungen? Ich sehe gar keinen Grund dafür. Wenn du die Ungleichungen so umformst, dass kein Nenner mehr da ist, kann auch keiner mehr null werden. Die einzige Fallunterscheidung ist bei B durch den Absolut-Betrag nötig.

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