Grenzwerte von Reihen

20.11.2007, 08:45

Stoni

Grenzwerte von Reihen

Hallo,

ich habe ein ganz großes Problem zum Thema Reihen.... Wenn man die konvergenz einer Reihe nachgewiesen hat, dann hat diese Reihe ja auch einen Grenzwert. Die Konvergenz nachzuweisen ist überhaupt kein Problem... Allerdings bekomme ich es überhaupt nicht hin auf einen Grenzwert einer Reihe zu kommen. Bücher geben mir diesbezüglich auch keine wertvollen Tipps..... Ich bin nun schon seit Stunden an diesen Aufgaben und komm einfach nicht drauf! Kann mir jemand erklären, wie ich auf den Grenzwert unendlich vieler Reihenglieder (n) komme? Wenn ich das Vorgehen wüsste, dann würde es mir schon mal sehr helfen!

Folgende ist eine meiner Aufgaben.
$\begin{eqnarray*} \frac{(-e)^{n-1}}{\pi^{n + 1}} \end{eqnarray*}$

Die Reihe ist konvergent, da
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} > \frac{1}{\pi^2} > \frac{1}{\pi^3} > \frac{1}{\pi^4} > .... > \frac{1}{\pi^{n+1}} > \frac{1}{\pi^{(n + 1) + 1}} \end{eqnarray*}$ und konvergiert gegen 0.

Aber wie komme ich jetzt auf den Grenzwert, der $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{e^2 + \pi e} \end{eqnarray*}$ sein soll.

20.11.2007, 09:13

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Schreib bitte nicht nur das Reihenglied, sondern die ganze Reihe hin - es kommt nämlich schon drauf an, ob man z.B. bei n=0 oder bei n=1 anfängt zu summieren...

Soviel kann man aber schon sagen: Es handelt sich hier um eine geometrische Reihe, du musst das Reihenglied nur passend umformen (Potenzgesetze!).

20.11.2007, 09:18

klarsoweit

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RE: Grenzwerte von Reihen

Zitat:

Original von Stoni
Allerdings bekomme ich es überhaupt nicht hin auf einen Grenzwert einer Reihe zu kommen.

Das ist je nach Aussehen der Reihe auch ein schwieriges Unterfangen.

Zitat:

Original von Stoni
Bücher geben mir diesbezüglich auch keine wertvollen Tipps.

Werf diese Bücher weg. Zumindest das Stichwort "geometrische Reihe" sollte in diesen vorkommen.

Zitat:

Original von Stoni
Die Reihe ist konvergent, da
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} > \frac{1}{\pi^2} > \frac{1}{\pi^3} > \frac{1}{\pi^4} > .... > \frac{1}{\pi^{n+1}} > \frac{1}{\pi^{(n + 1) + 1}} \end{eqnarray*}$ und konvergiert gegen 0.

Unfug. Was haben diese Terme mit deiner Reihe zu tun? Nebenbei ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 1 > \frac 1 2 > ... > \frac 1 n \end{eqnarray*}$ und konvergiert gegen Null. Die zugehörige Reihe konvergiert trotzdem nicht.

Mit einer kleinen Umformung kann man das auf den Grenzwert einer bekannten Reihe umformen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(-e)^{n-1}}{\pi^{n + 1}} = \frac{1}{-e \pi} \cdot \frac{(-e)^n}{\pi^n} = \frac{1}{-e \pi} \cdot \left( \frac{-e}{\pi} \right)^n \end{eqnarray*}$

Alles klar?

20.11.2007, 23:16

Stoni

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Also das Summenzeichen der Reihe lautet: $\begin{eqnarray*} \sum_{n = 0}^\infty \end{eqnarray*}$

20.11.2007, 23:35

WebFritzi

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Gut, dann dürftest du ja jetzt keine Probleme mehr haben. Es wurde eigentlich alles gesagt.

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