exp(x)<=1/(1-x)

20.11.2007, 11:01

Wurstwasser

exp(x)<=1/(1-x)

Hallo,

wir sollen a) exp(x)<=1/(1-x) beweisen. Drei Tatsachen wissen wir:

1.: exp(a+b) = exp(a)*exp(b)
2.: exp(0) = 1
3.: exp(x) >= x+1

Um a) zu beweisen, lächelt mich irgendwie 3 an. Aber ich mir fehlt die zündende Idee, auf 1/(1-x) zu kommen.

Kann jemand einen kleinen Tipp geben?

Danke
Michael

20.11.2007, 11:08

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Hier der Tipp: Gemäß (1) gilt $\begin{eqnarray*} \exp(x)\cdot \exp(-x) = \exp(0) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die nachzuweisende Behauptung gilt übrigens nur für x<1. Für x>1 ist sie explizit falsch.

20.11.2007, 12:06

Wurstwasser

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Wenn ich nun deinen Ansatz umstelle, habe ich:
exp(x) = 1 / exp(-x)

Gemäß Behauptung (eingesetzt) wäre dann

1/exp(x) <= 1/(1-x) | *(1-x)
<=>
(1-x)/exp(x) <= 1 | *exp(x)

Hmmm. Und nun verrenne ich mich hier. Da bekomme ich dann nur raus, dass exp(x)<1-x...

EDIT: Falsch eingesetzt, da gehört eigentlich "1/exp(-x)" hin, bringt mir aber trotzdem nichts...

20.11.2007, 12:10

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Vielleicht überprüfst du mal die Vorzeichen - bei dir steht häufig exp(x) wo eigentlich exp(-x) stehen müsste...

20.11.2007, 13:23

Wurstwasser

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Ja richtig, aber dann gelange ich zu:

1/exp(-x) <= 1/(1-x)
1 <= exp(-x)/(1-x)
1-x <= exp(-x)

Was nun? exp(-x) > 1-x wie folgt daraus die Behauptung?

20.11.2007, 13:28

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Du hast gerade die Behauptung äquivalent umgeformt und fragst, wie daraus die Behauptung folgt???

So geht's nun überhaupt nicht: Wenn du schon die Behauptung äquivalent umformst, dann nur mit dem Ziel, zu einer Aussage zu gelangen, die mit (1)(2)(3) nachgewiesen werden kann. Und das hast du mit $\begin{eqnarray*} 1-x \leq \exp(-x) \end{eqnarray*}$ erreicht, wenn du (3) nur mal scharf ansiehst.

20.11.2007, 13:35

tigerbine

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Wurstwasser...
...so langsam solltest Du aber mal latex verwenden.

Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \exp(x)~\leq ~\frac{1}{1-x} \end{eqnarray*}$ (*)

Kommentar Arthur Dent

Für welche $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ "gilt" denn die Behauptung überhaupt?

Edit: falscher Plot

LG,
tigerbine Wink

20.11.2007, 18:19

Wurstwasser

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Du hast gerade die Behauptung äquivalent umgeformt und fragst, wie daraus die Behauptung folgt???

Ich habe mich falsch ausgedrückt. Ja klar, ich will eine Umformung machen und diese dann mit meinen Axiomen zeigen.

Zitat:

Und das hast du mit $\begin{eqnarray*} 1-x \leq \exp(-x) \end{eqnarray*}$ erreicht, wenn du (3) nur mal scharf ansiehst.

Darf ich hier eine Substitution anwenden, so in etwa:

$\begin{eqnarray*} 1-x \leq \exp(-x) \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} 1-(-x) \leq \exp(-(-x)) \end{eqnarray*}$
<=> $\begin{eqnarray*} 1+x \leq \exp(-x) \end{eqnarray*}$

q.e.d. (wg. 3) Meine Frage: ist das eine legitime Umwandlung?

20.11.2007, 19:46

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Warum so kompliziert? (3) gilt doch für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also auch für $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ . Einfach einsetzen!

20.11.2007, 21:02

Wurstwasser

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Zitat:

Original von Arthur Dent(3) gilt doch für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , also auch für $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ . Einfach einsetzen!

Oh stimmt, danke, damit ist es klar.

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