Abstand Punkt-Ebene

20.11.2007, 14:13

Egon

Abstand Punkt-Ebene

Hi!

Ich habe bisher solche Aufgaben immer recht kompliziert gelöst:

- Gerade (Richtungsvektor = Normalvektor der Ebene) durch den Punkt bestimmt
- Schnittpunkt Gerade / Ebene bestimmt
- Betrag des Vektors Schnittpunkt-gegebener Punkt bestimmt

Nun habe ich, motiviert durch Postings in diesem Forum, gemerkt, dass das viel einfacher ginge. Aber irgendwie kommt mir das nun so einfach vor, dass ich mich frage, ob ich da nicht was falsch verstanden habe:

Man nehme:
- Punkt P (gegebener Punkt ausserhalb der Ebene; ausser die Aufgabe ist blöd gestellt, und er liegt tatsächlich auf der Ebene....), mit seinem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{p} \end{eqnarray*}$
- Punkt A (irgendein Punkt auf der Ebene), mit seinem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$
- Normalvektor der Ebene $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$

und rechne:

$\begin{eqnarray*} d=\frac{\left|\vec{n}\cdot(\vec{p}-\vec{a})\right|}{\left|\vec{n}\right|} \end{eqnarray*}$

Ist das *wirklich* so einfach? oder: Ist das wirklich *so* einfach? Ich meine, habe ich da jetzt jahrelang so einen Zirkus veranstaltet, obwohl ich das alles in nullkommanichts hätte ausrechnen können?

20.11.2007, 15:18

cst

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RE: Abstand Punkt-Ebene
Kuck mal:

$\begin{eqnarray*} d = \left||\vec{AP}| \cdot \cos \alpha\right| \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \cos \alpha = \frac{\vec{AP} \cdot \vec{n}}{|\vec{AP}| \cdot |\vec{n}|} \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} d = \left||\vec{AP}|\frac{\vec{AP} \cdot \vec{n}}{|\vec{AP}| \cdot |\vec{n}|}\right|= \frac{\left|\vec{AP} \cdot \vec{n}\right|}{|\vec{n}|} \end{eqnarray*}$

-- ist wirklich so einfach smile

cst

20.11.2007, 18:12

niccle

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Du kannst die Ebene auch in Koordiantenform umwandeln.
Dann wählst du die schreibweise: $\begin{eqnarray*} \frac{ax+by+cz-e}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}= d \end{eqnarray*}$

Für x,y,z den Punkt einsetzen und schon hast du d. Und d ist der Abstand.

So machen wir das.

21.11.2007, 00:08

mYthos

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Zitat:

Original von cst
...
$\begin{eqnarray*} d = \left||\vec{AP}|\frac{\vec{AP} \cdot \vec{n}}{|\vec{AP}| \cdot |\vec{n}|}\right|= \frac{\left|\vec{AP} \cdot \vec{n}\right|}{n} \end{eqnarray*}$
...

@cst

In deiner Formel ist ein Fehler. In den Nenner gehört der Betrag des Normalvektors.

@niccle

cst hat die Formel zunächst einmal hergeleitet. Das muss man ja nicht jedesmal rechnen.
Das was du geschrieben hast, ist genau das ausgeschriebene (Koordinaten-) Endergebnis der Vektorgleichung für d.

mY+

21.11.2007, 20:10

cst

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So war's auch gemeint, aber sicher ist natürlich sicher Augenzwinkern

-- hab's also reineditiert, danke.

cst

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