LU-Zerlegung

20.11.2007, 14:35

Blacks

LU-Zerlegung

Lösen Sie für $\begin{eqnarray*} \vec{b} = (2,1,5,-1)^T \end{eqnarray*}$ mit hilfe der LU Zerlegung das Gleichungssystem $\begin{eqnarray*} A\vec{x} =\vec{b} \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe die Matrix A nun in die Matrizen L und U zerlegt:

$\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Rechenfehler hab ich keine gefunden und auch die Determinanten von A und LU stimmen mit -4 überein.

Nun rechne ich $\begin{eqnarray*} L*\vec{y} = (5,2,1,-1)^T \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (5,2,1,-1)^T \end{eqnarray*}$ ensteht hierbei weil ich ich bei der LU-Zerlegung die Zeilen, zwecks Spaltenpivotierung, vertauscht habe.

Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ \frac{1}{2} & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2}{3} & 1 & 0 \\ 0 & \frac{2}{3} & -1 & 1 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ y_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun rechne ich $\begin{eqnarray*} U*\vec{x} = (5,-\frac{1}{2},\frac{2}{3} , 0)^T \end{eqnarray*}$

Ich erhalte:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} *\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -\frac{1}{2} \\ \frac{2}{3} \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun muss ich noch zurückvertauschen und erhalte als Lösung von $\begin{eqnarray*} A\vec{x} =\vec{b} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = (1,1,2,0)^T \end{eqnarray*}$

Das sind zwar schöne glatte Werte, aber leider die falschen.
Man kann aus Matrix A sofort sehen, dass die Lösung $\begin{eqnarray*} \vec{x} = (3,1,1,0)^T \end{eqnarray*}$ sein müsste.
Ich finde keine Rechenfehler und von der Methodik müsste auch alles richtig sein.
Deshalb bitte ich um Hilfe!

20.11.2007, 14:43

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Lu?
Meinst du Zerlegung in ein Dreiecksmatrizen? Manche nennen das dann auch LR?

20.11.2007, 14:49

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das müsste das gleiche sein...ich habs als LU-zerlegung kennengelernt, mit L für lower und U für upper Matrix...
schätze LR-Zerlegung steht dann für links und rechts...
sollt aber das gleiche Prinzip sein...

20.11.2007, 14:57

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Oki doki. Man sieht aber schon auf den ersten Blick, dass die LR /LU Zerlegung nicht stimmt.

20.11.2007, 15:03

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

Wär nett, wenn du mir auch noch sagst, woran du das erkennst.
Ich erkenne es nämlich nicht.
Ich habe das mehrmals sorgfältig gerechnet und auch die determinanten wie oben erwähnt stimmen.

20.11.2007, 15:11

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} a_{11} = 1 \neq 1\cdot 2 = l_{11} \cdot r_{11} \end{eqnarray*}$

BTW: Mit Determinanten würde ich nur umgekehrt argumentieren. D.h. Wenn die nicht stimmen, dann stimmt auch die Zerlegung nicht.

20.11.2007, 15:35

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

Also...
das was du geschrieben hast, stimmt zwar nicht, aber ich dadurch hast du mir trotzdem geholfen Augenzwinkern

Du hast vergessen, dass ich die Zeilen vertauscht habe...die vertauschte Matrix würde aus den Zeilen 3,1,2,4 in genau dieser Reihenfolge bestehen.
Demnach wäre a_11=2. Ich habe also fast richtig gerechnet.

Ich bin zwar zur Kontrolle meine Rechenwege bestimmt 5 mal durchgegangen, bin ich aber nie auf die dee gekommen die Matrizen einfach miteinander zu multiplizieren...Brett vorm Kopf...

Durch deine Bemerkung hab ich das dann einfach mal gemacht und siehe da:
Ein Vorzeichenfehler.
Unterwegs ist mir ein Minus-Zeichen abhanden gekommen...
mit dem Minuszeichen stimmt wieder alles und ich komme auf das richtige Ergebnis...
Das Minus fehlt in der ersten Zeile der U-Matrix vor der 1.

Ich hab allerdings noch eine kleine Frage.
Ich bekomme als Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} = (3,1,1,0)^T \end{eqnarray*}$ , was ja auch richtig ist. Jedoch bekomme ich dieses Ergebnis ohne meine Zeilenvertauschungen rückgängig zu machen.
Wenn ich wieder zurückvertausche erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \vec{x} = (1,1,3,0)^T \end{eqnarray*}$

Wieso muss ich die Vertauschung scheinbar nicht rückgängig machen?

20.11.2007, 15:42

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Also...
das was du geschrieben hast, stimmt zwar nicht, aber ich dadurch hast du mir trotzdem geholfen Augenzwinkern

Warum sollte das nicht stimmen. Wenn man LU rechnet, kommt nicht A raus. Also stimmt dein Satz nicht

Zitat:

Ich habe die Matrix A nun in die Matrizen L und U zerlegt:

Wenn Du hier was vertauscht, machst Du eine PA=LR Zerlegung. Schreib die Schritte doch mal auf. Augenzwinkern

20.11.2007, 15:47

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab im letzten post erklärt, warum das nicht stimmt...
Wenn man LU rechnet kommt (bis auf den Vorzeichenfehler) A raus, jedoch mit vertauschten Zeilen.

Aber trotzdem danke!...durch dich hab ich den Fehler entdeckt.

20.11.2007, 15:47

Tobias

Auf diesen Beitrag antworten »

Was du gemacht hast ist eine $\begin{eqnarray*} PA = LU \end{eqnarray*}$ Zerlegung wobei P eine Permutationsmatrix ist, die durch die Zeilenvertauschung definiert wird.

$\begin{eqnarray*} Ax = b \iff PAx = Pb \iff LUx = Pb \end{eqnarray*}$

Wie du siehst wird x nirgendwo permutiert sondern nur A und b.

20.11.2007, 15:50

Blacks

Auf diesen Beitrag antworten »

@Tobias
stimmt...ich hab auch nochmal genau hingesehen...x bleibt gleich...habs verstanden, danke auch!

Ich muss zu meiner Entschuldigung sagen, dass in meinem Skript diese Methode mit Zeilenvertauschungen als LU-Zerlegung beschrieben wird.
Und die Vertauschungen hab ich auch erwähnt in meinem ersten Post. Ich habe geschrieben, dass $\begin{eqnarray*} \vec{b} = (2,1,5,-1)^T \end{eqnarray*}$ durch die Vertauschungen zum Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b} = (5,2,1,-1)^T \end{eqnarray*}$ wird.
Aber ist ja jetzt auch egal...

20.11.2007, 15:50

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Sie Tobias und mein Edit. Dann verstehst Du vielleicht, warum deine Aussage falsch ist und meine Bemerkung richtig. Augenzwinkern

Das vertauschen darf man nicht einfach so machen, dass muss man schon notieren. Dazu nimmt man die Matrix P.

EDIt: Nun scheint's ja angekommen. Schönen Nachmittag Wink

Neue Frage »

Antworten »

LU-Zerlegung

Verwandte Themen