Mit dem Differentialqotienten etw. Beweisen

20.11.2007, 14:37

6setzen

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Mit dem Differentialqotienten etw. Beweisen

Ich soll Beweisen dass $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ auch mit der Potenzregel gerechnet werden kann das heißt das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht nur element aus den Natürlichen zahlen sein muss
dies soll mit hilfe des Differenzialquotienten dargestellt werden

also setze ich ein: $\begin{eqnarray*} \frac{x^{\frac{1}{2}}+h-x^{\frac{1}{2}}}{h} \end{eqnarray*}$

ich weiß das das ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ sein soll

wie komme ich jetz von dem dem was ich eingesetzt habe auf das Ergebnis... ich würde eigentlich jetz $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ rechnen aber das geht ja nicht

habe ich einen fehler gemacht?

20.11.2007, 14:44

klarsoweit

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RE: Mit dem Differentialqotienten etw. Beweisen

Zitat:

Original von 6setzen
also setze ich ein: $\begin{eqnarray*} \frac{x^{\frac{1}{2}}+h-x^{\frac{1}{2}}}{h} \end{eqnarray*}$

Das hast du schön gesetzt, ist aber falsch. smile

smile

Offensichtlich betrachtest du die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt x \end{eqnarray*}$ . was ist dann f(x+h) ?

20.11.2007, 14:45

tigerbine

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Falsch eingesetzt
$\begin{eqnarray*} (x+h)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

20.11.2007, 14:48

6setzen

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RE: Mit dem Differentialqotienten etw. Beweisen
ja f(x+h) ist $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}}+h \end{eqnarray*}$ oder?

wie kannman die wurzel machen? mit latex mein ich.Ich habe die erklärung nicht gefunden.

Danke

EDIT

ACHSO!!!! ok dann versuche ich es jetz noch einmal

20.11.2007, 14:51

6setzen

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RE: Mit dem Differentialqotienten etw. Beweisen
ja hmm
dann kommt raus

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{\frac{1}{2}}+h^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{h} \end{eqnarray*}$

das hilfs mir aber auch nicht weiter .... oder??? sryyyyy verwirrt

verwirrt

:S

20.11.2007, 14:57

tigerbine

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Binomische Formeln...
...würde ich mir mal anschauen.

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20.11.2007, 14:58

derkoch

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RE: Falsch eingesetzt
$\begin{eqnarray*} (x+h)^{\frac{1}{2}}\neq x^{\frac{1}{2}}+h^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$

20.11.2007, 15:00

6setzen

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RE: Falsch eingesetzt
aber wie geht denn die binom formel von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ???

ich kenne nur die von 2....ich dachte die wären immer gleich

EDIT

und mit Pascalischem Dreieck geht das ja auch nicht...

20.11.2007, 15:10

tigerbine

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Differentialquotient
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}~\frac{(x+h)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h} = \lim_{h \to 0}~ \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \end{eqnarray*}$

Du hast ja schon gesagt, dass du weißt, was rauskommt.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Was passiert nun, wenn man den Bruch erweitert mit (Binomische Formel)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

20.11.2007, 15:18

6setzen

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RE: Differentialquotient
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$
wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} +\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

mit welcher binomischen formel soll ich denn erweitern?

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (x+h)^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist das richtig?

ich dachte der Differentialquotient hätte im zähler $\begin{eqnarray*} f(x+h)-f(x) \end{eqnarray*}$ wie kommst du auf die +

EDIT

mein problem liegt darin das ich die binom. Formel von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ nicht kenne!

20.11.2007, 15:21

tigerbine

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RE: Differentialquotient
Na, an dem Rätsel musst Du wohl noch ein wenig knabber. Ich habe auch nicht den Zähler geändert. Steht doch "-" da. Ich erweitere aber mit "+". mit dem Stichwort "Binomische Formel" liegt der Ball schon zum Elfmeter bereit und der Torwart ist verhindert ;

20.11.2007, 15:30

6setzen

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RE: Differentialquotient
achso du meinst ich soll mit dem ganzen termr $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ erweitern
können wir das vlt ohne die wurzel sondern mit $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ machen das verwirrt mich

ich bin immernoch wo ganz anders du schätz mich zu klug ein ich bin noch bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+h)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}}{h} \end{eqnarray*}$

20.11.2007, 15:33

tigerbine

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Von mir aus schreib "hoch". aber nun erweitern.

20.11.2007, 15:40

6setzen

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$\begin{eqnarray*} \frac{(x+h)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}}*((x+h)^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}})}{h*((x+h)^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}})} \end{eqnarray*}$

und jetz klammern auflösen?

20.11.2007, 15:43

tigerbine

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Erstmal klammern richtig setzen. Und nochmal sage ich es nicht: Binomische Formel

20.11.2007, 15:49

6setzen

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$\begin{eqnarray*} \frac{((x+h)^{\frac{1}{2}}-x^{\frac{1}{2}})*((x+h)^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}})}{h*((x+h)^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}})} \end{eqnarray*}$

ok bevor ich das jetz alles ausrechne.... würdest du mir vorher noch erklären was jetzt $\begin{eqnarray*} (x+h)^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ergibt damit ich mal weiter komme verwirrt

verwirrt

20.11.2007, 15:51

tigerbine

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böse

Nimm endlich die binomische Formel. Dann löst sich diese Frage in Luft auf.

20.11.2007, 16:00

6setzen

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hab ich doch gemacht jetz heng ich doch trotzdem...

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+h)+((x+h)^{\frac{1}{2}}*x^{\frac{1}{2}})-((x+h)^{\frac{1}{2}}*x^{\frac{1}{2}})+x}{(h*(x+h)^{\frac{1}{2}})+(h*x^{\frac{1}{2}})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{(x+h)+x}{h*(x+h)^{\frac{1}{2}}+(h*x^{\frac{1}{2}})} \end{eqnarray*}$

20.11.2007, 16:01

tigerbine

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Welche binomische Formel hast du denn genommen?

20.11.2007, 16:05

klarsoweit

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@tigerbine: gar keine. Sie hat einfach ausmulitpliziert. Macht ja nichts. Leider mit einem Vorzeichenfehler. smile

smile

20.11.2007, 16:05

6setzen

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ehem... keine ahnung .... ich habe einfach die klammern ausgerechnet... ok ich muss mal guggen wie die geht ich kann die nicht auswendig

das is abeer die dritte binomisch e formel oder?

EDIT

ja ich habe doch das richtige ergebnis raus im zähler... $\begin{eqnarray*} (x^{\frac{1}{2}})^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ also wenn das richtig ist ist mein ergebnis im zähler auch richtig

EDIt

ACHSOOO es ist

$\begin{eqnarray*} (x+h)-x \end{eqnarray*}$

20.11.2007, 16:12

tigerbine

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to be continued...

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}~\frac{(x+h)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h} = \lim_{h \to 0}~ \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \end{eqnarray*}$

Du hast ja schon gesagt, dass du weißt, was rauskommt.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

Was passiert nun, wenn man den Bruch erweitert mit (Binomische Formel)

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~ \frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} &&=\lim_{h \to 0}~ \frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \\&& =\lim_{h \to 0}~ \frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})} \\&&=\lim_{h \to 0}~ \frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

EDIT: - zu +

20.11.2007, 16:25

6setzen

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soweit war ich doch auch schchon
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

was soll ich jetz machen um auf $\begin{eqnarray*} 2\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ zu kommen

oh mein gott es tut mir echt leid aber ich raffs net

20.11.2007, 16:27

tigerbine

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lerne für das Leben...
... und lies auch das Kleingedruckte. Was bedeutet wohl $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und ich habe nun auch einen VZ-Fehler gemacht. Entschuldigung. Copy und Paste sollte man überprüfen. Hammer

Hammer

"+" muss rein. Edit oben.

20.11.2007, 16:31

6setzen

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RE: lerne für das Leben...
ja ok den VZ fehler sehe ich nciht aber ist ja auch egal

also wenen h gegen null geht dann steht da jetzt

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x}} \end{eqnarray*}$

das ist bei mir aber leider auch 0 und dann wäre ich noch verwirrter weil dann wieder diese ganzen rechnungen fürn ***** wärern

glaubste ich sietze hier nd warte auf eine antwort ich mache mir shcon meine gedanken und rechne aber ich stehe glaube ich auf dem schlauch oder ich wießei auch nciht...

20.11.2007, 16:39

tigerbine

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RE: lerne für das Leben...
Das Minus um Nenner ist doch mein Tippfehler. Ist doch oben schon korrigiert. geschockt

geschockt

20.11.2007, 16:41

6setzen

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RE: lerne für das Leben...
Achso dann ist jetz auch alles klar

vielen vielen danke ich rechne es jetz am besten nochmal alleine durch

und sry für die arbeit...

20.11.2007, 16:43

tigerbine

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Wink

20.11.2007, 16:45

6setzen

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als allllllller letzes
SRYY

wenen mein lehrer mich jetz fragt warrum ich mit
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+h}+\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ erweitert habe...was antworte ich dann

hast du das auch geraten oder gibt es einen hintergrund?

20.11.2007, 16:47

tigerbine

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RE: to be continued...

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0}~\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h \to 0}~\frac{(x+h)^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{h} = \lim_{h \to 0}~ \frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h} \end{eqnarray*}$

Nun ja, mit der Summe unter der Wurzel kommt man nicht weit. Da ich aber die 3te binomische Formel kenne, weiß ich, dass ich die Wuzeln durch Erweitern eliminieren kann. Das ist zumindest einen Versuch Wert. Und hat dann ja auch schon zum Ziel geführt.

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