Dichte Teilmengen des Einheitskreises

20.11.2007, 16:09

anticamper

Dichte Teilmengen des Einheitskreises

Hi, ich suche einen Beweis für folgenden Satz:

Sei T:={z aus den komplexen Zahlen | |z|=1} der Einheitskreis.
Sei z aus T rational unabhängig, dh. es existiert keine natürliche Zahl m mit z=z^m.
Dann liegt die Menge M:={z^n| n aus den natürlichen Zahlen} dicht in T.

Anschaulich ist mir die Aussage klar, leider schaffe ich es nicht, diesen Satz zu beweisen. Über einen Ansatz oder gar einen ganzen Beweis würde ich mich freuen Augenzwinkern

LG anticamper

20.11.2007, 16:42

therisen

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Eine interessante Aufgabe. Ob ich dir weiter helfen kann, weiß ich nicht genau, da ich mich mit der Dichte von Mengen bisher nicht weiter beschäftigt habe. Meine Ansatz wäre $\begin{eqnarray*} S^1 \end{eqnarray*}$ zu parametrisieren: Es gilt $\begin{eqnarray*} z=\cos\varphi+i\sin\varphi \end{eqnarray*}$ mit einem geeigneten $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ . Sei nun $\begin{eqnarray*} w=\cos\psi+i\sin\psi\in S^1 \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest. Wegen $\begin{eqnarray*} z^m=\cos(\varphi m)+i\sin(\varphi m) \end{eqnarray*}$ erhält man vermöge der Additionstheoreme nach einer kurzen Rechnung $\begin{eqnarray*} \|w-z^m\|=2\left|\sin\left(\frac{\psi-\varphi m}2 \right) \right| \end{eqnarray*}$ - das ist eine reellwertige Funktion in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wenn es dir gelingt zu zeigen, dass diese beliebig klein wird, folgt daraus die Behauptung. Hierbei muss man verwenden, dass $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ rational unabhängig ist.

Allerdings habe ich keine Zeit, diesen Ansatz weiter zu verfolgen.

Gruß, therisen

EDIT: Beweis Kronecker-Theorem könnte nützlich sein

20.11.2007, 17:44

anticamper

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Der Ansatz von Therisen scheint auf jeden Fall hilfreich zu sein.
Ich kann das ganze jetzt auf folgendes begrenzen:

Die Behauptung folgt, wenn für r aus den reellen Zahlen und t aus den irrationalen Zahlen der Ausdruck |r-t*m| beliebig nahe an eine natürliche Zahl herankommt für ein m aus den natürlichen Zahlen.

Ist t eine rationale Zahl, ist dies im Allgemeinen nicht der Fall, das heißt, dass t eine irrationale Zahl sein muss, ist eine notwendige Bedingung für die Behauptung, aber ob sie hinreichend ist, weiß ich noch nicht.

22.11.2007, 10:06

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Ich weiß nicht, wieviel du von einfachen Kettenbrüchen verstehst ... jedenfalls besitzen irrationale Zahlen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ stets unendliche Kettenbrüche:

$\begin{eqnarray*} t = [b_0;b_1,b_2,\ldots] \end{eqnarray*}$ .

Betrachtet man Näherungsbrüche von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ , indem man diese Kettenbruchentwicklung an der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -ten Stelle abbricht

$\begin{eqnarray*} \frac{p_n}{q_n} := [b_0;b_1,b_2,\ldots,b_n] \end{eqnarray*}$ mit teilerfremden $\begin{eqnarray*} p_n,q_n \end{eqnarray*}$ ,

so haben diese Näherungsbrüche folgende interessante Eigenschaft, die dir weiterhelfen könnte:

$\begin{eqnarray*} 0 < \left| t - \frac{p_n}{q_n} \right| < \frac{1}{q_nq_{n+1}} \end{eqnarray*}$ ,

oder umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} 0 < | q_nt - p_n | < \frac{1}{q_{n+1}} \end{eqnarray*}$

mit einer streng monoton wachsenden Folge positiver ganzer Zahlen $\begin{eqnarray*} q_n \end{eqnarray*}$ , insbesondere also $\begin{eqnarray*} q_n\to \infty \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ ...

EDIT: Aussage noch etwas verfeinert, indem eines der $\begin{eqnarray*} q_n \end{eqnarray*}$ durch das schärfere $\begin{eqnarray*} q_{n+1} \end{eqnarray*}$ ersetzt wurde... Augenzwinkern

23.11.2007, 16:08

anticamper

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Ich habe deine Antwort hier sehr wohl gelesen, kenne mich aber mit Kettenbruchen gar nicht aus. Ich habe mir dann erstmal einiges angelesen.

In der Zwischenzeit habe ich dann einen anderen Ansatz für mein Problem gefunden und bin dort auf die Problemstellung gestoßen, die ich in dem anderen Thread erläutert habe.

Man möge es mir verzeihen, dass ich dies nicht mit deiner Antwort in Verbindung gebracht habe. Und ich finde es schon heftig, wie schnell man hier verurteilt wird.

Aber zurück zum Thema. In der Tat liefert deine Antwort die Antwort auf meine Frage in dem anderen Thread.
Wenn ich jetzt noch wüsste, warum dies so ist, wäre mir sehr geholfen.
Hast du vielleicht eine Quelle zur Hand? Ein Lehrbuch oder ein Artikel aus einer Zeitschrift? Dann kann ich mich mal in die Biblio setzen und mir das ganze genauer anschauen.

23.11.2007, 16:47

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Zitat:

Original von anticamper
Und ich finde es schon heftig, wie schnell man hier verurteilt wird.

Das war keine Verurteilung - aber da es ein Wiederholungsfall war, der dritte Thread zum ganz ähnlichen Thema, ohne die anderen Threads anzusehen (ich erinnere an den zweiten) meinte ich mal etwas deutlicher werden zu müssen ... egal.

Ich hab hier nur ein Buch über Zahlentheorie, wo Kettenbrüche ausführlich behandelt werden, und das hab ich hier schon mal in einem anderen Zusammenhang angegeben. Aber da findet sich bestimmt was neueres und besser zugängliches. Augenzwinkern

EDIT: Oder ein bisschen googeln ... voilà, ziemlich schnell ein guter Treffer:

http://www.uni-giessen.de/tomas.sauer/Sk...ttenbrueche.pdf

Satz 2.11 ist es, auf den ich oben Bezug nehme.

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