jede reelle zahl häufungspunkt

20.11.2007, 16:53	FabiB	Auf diesen Beitrag antworten »
jede reelle zahl häufungspunkt Ich möchte folgendes zeigen: Sei $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Folge mit $\begin{eqnarray} \{a_n\|n\in \mathbb N \}= \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Jede reelle Zahl ist ein Häufungspunkt dieser Folge. Damit ihr so in etwa wisst, was ich mir bisher für Gedanken gemacht habe schreibe ich es einfach auf: Jede reelle Zahl ist darstellbar in Dezimaldarstellung. Man schreibt etwa: $\begin{eqnarray} a_0,a_1 a_2 a_3 a_4... \end{eqnarray}$ (z.B 5,1321...). Damit ist eigentlich gemeint: $\begin{eqnarray} \frac{a_0}{10^0}+\frac{a_1}{10^1}+\frac{a_2}{10^2}+\frac{a_3}{10^3}+\frac{a_4}{10^4}... \end{eqnarray}$ Hat eine reelle Zahl nur endlich viele Nachkommastellen, so entspricht sie genau einer rationalen Zahl, die sich aus dieser Summe ergibt. Wie kann denn jetzt zeigen, dass diese rationale Zahl Häufungspunkt einer Teilfolge ist? Und sind es unendlich viele Nachkommastellen, so lässt sie sich beliebig gut durch eine rationale Zahl annähern, weil Q dicht in R liegt. oder folgt das ganze vielleicht schon irgendwie daraus das Q dicht in R liegt, das hatte ich so als erstes im Gefühl weiss aber nicht wie ich dort ansetzen sollte. Also bis auf diese Überlegungen, weiss ich überhaupt nicht wie ich dass alles zeigen soll. vielleicht kann mir jemand helfen. danke schonmal im vorraus.
20.11.2007, 17:07	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
um zu zeigen, dass alle rationalen zahlen häufungspunkte sind, kannst du aus dem archimedesaxiom folgern: zu jeder reellen zahl $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ , gibt es ein $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray}$ . edit: das reicht sogar schon um es für alle reellen zahlen zu beweisen.
20.11.2007, 17:24	FabiB	Auf diesen Beitrag antworten »
wie gebe ich eine entsprechende teilfolge an die gegen die reelle zahl konvergiert?
20.11.2007, 17:28	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
du musst doch gar keine teilfolge explizit angeben, du musst nur zeigen, dass unendlich viele folgeglieder in jeder noch so kleinen epsilonumgebung jeder reellen zahl liegen. für rationale zahlen ist das fast trivial: sei $\begin{eqnarray} q \in \mathbb Q \end{eqnarray}$ . mit meinem ersten post folgt: $\begin{eqnarray} \left\| q-\left(q+\frac{1}{n}\right) \right\| = \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray}$
20.11.2007, 18:23	FabiB	Auf diesen Beitrag antworten »
wie schreibe ich dass für reelle zahlen auf.
20.11.2007, 18:32	FabiB	Auf diesen Beitrag antworten »
Für jede reelle Zahl r gibt es eine rationale Zahl q die beliebig dicht an r liegt. Also gibt es eine Teilfolge a_q, so dass \|a_q - r\| < epsilon.
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