Fourier Koeffizienten einer Funktion

20.11.2007, 17:28

zzzboard

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Fourier Koeffizienten einer Funktion

Hallo Leute

Ich habe ein Problem!

Im Angehangenen Bild ist eine Funktion dargestellt und hier sollen die Fourier Koeffizienten berechnet werden. Kann mir dabei jemand auf die Sprünge helfen, wie ich da am besten anfange, bzw. was hier zu beachten ist.

Besten Dank schonmal für Eure Mühen! smile

smile

20.11.2007, 17:39

klarsoweit

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RE: Fourier Koeffizienten einer Funktion
Wie sind denn Fourierkoeffizienten definiert?

20.11.2007, 17:55

zzzboard

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es sollen die fourier koeffizienten von der angegebenen funktion berechnet werden.

20.11.2007, 18:25

klarsoweit

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Das ist mir schon klar. Aber wenn man von Fourierkoeffizienten redet, muß man auch wissen, wie diese allgemein definiert sind.

20.11.2007, 19:02

zzzboard

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kannst du mir da etwas auf die sprünge helfen?

21.11.2007, 10:29

klarsoweit

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Also ich muß mich schon wundern. Du bekommst eine Aufgabe, wo es um die Berchnung von Fourierkoeffizienten geht. Da muß das Thema doch garantiert in der Vorlesung besprochen worden sein. So unvermittelt fällt das doch nicht vom Himmel, oder?

Also ich gebe mal ein paar Hinweise zur Fouriertransformation. Es geht dabei im Prinzip darum, eine 2pi-periodische Funktion f mit Hilfe von sin- und cos-Funktionen darzustellen. Die zugehörige Fouriertransformierte F würde also so aussehen:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \cdot cos(kx) + \sum_{k=1}^{\infty}~b_k \cdot sin(kx) \end{eqnarray*}$

Die sogenannten Fourierkoeffizienten werden so berechnet:

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~f(x) \cdot cos(kx)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~f(x) \cdot sin(kx)~dx \end{eqnarray*}$

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10.04.2008, 12:22

Poldi

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Hallo,

ich mache auch gerade meine ersten Gehversuche in Sachen Fourierreihen und nutze mal diesen alten thread um meine Frage anzuschließen:

Wenn die Funktion f nun nicht $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch ist, sondern 2T-periodisch, wie ändern sich dann die Formeln?

$\begin{eqnarray*} F(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \cdot cos(k(\frac{2\pi}{T})x) + \sum_{k=1}^{\infty}~b_k \cdot sin(k(\frac{2\pi}{T})x) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig?

Ändert sich an den Fourierkoeffizienten auch was?

Danke,
Poldi

10.04.2008, 13:42

klarsoweit

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Wenn f 2T-periodisch ist, kannst du die Funktion g definieren mit $\begin{eqnarray*} g(x) = f \left( \frac{T}{\pi} x \right) \end{eqnarray*}$ . Diese Funktion ist dann 2pi-periodisch.

Die Fouriertransformierte von g ist dann:

$\begin{eqnarray*} G(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \cdot cos(kx) + \sum_{k=1}^{\infty}~b_k \cdot sin(kx) \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~g(x)~dx = \frac{1}{T} \cdot \int_{-T}^{T}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~g(x) \cdot cos(kx)~dx = \frac{1}{T} \cdot \int_{-T}^{T}~f(x) \cdot cos(k \frac{\pi}{T}x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~g(x) \cdot sin(kx)~dx = \frac{1}{T} \cdot \int_{-T}^{T}~f(x) \cdot sin(k \frac{\pi}{T}x)~dx \end{eqnarray*}$

Für die Fouriertransformierte F von f folgt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = G \left( \frac{\pi}{T} x \right) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}~a_k \cdot cos(k \frac{\pi}{T} x) + \sum_{k=1}^{\infty}~b_k \cdot sin(k \frac{\pi}{T} x) \end{eqnarray*}$

EDIT: Formel für b_k korrigiert.

EDIT: fehlendes Argument x in cos bzw. sin ergänzt.

11.04.2008, 13:25

Poldi

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Erstmal vielen lieben Dank für die ausführliche Antwort. Nur um sicher zu gehen (wir Anfänger sind schnell zu verunsichern!):
Bei $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ fehlt noch jeweils ein x vor dem letzten "Klammer zu", oder??? Und in der letzten Zeile noch T anstelle von Pi im Nenner und als Integralgrenzen!? Also wären dann

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~g(x) \cdot cos(kx)~dx = \frac{1}{T} \cdot \int_{-T}^{T}~f(x) \cdot cos(k \frac{\pi}{T}x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k = \frac{1}{\pi} \cdot \int_{-\pi}^{\pi}~g(x) \cdot sin(kx)~dx = \frac{1}{T} \cdot \int_{-T}^{T}~f(x) \cdot sin(k \frac{\pi}{T}x)~dx \end{eqnarray*}$

die Formeln für "meine" Koeffizienten?!?!?!?

Jetzt habe ich natürlich auch eine Aufgabe dazu und versuche mich daran:

f(t) = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}, t = 0 \\ \frac{1}{2}e^{-1}, t=1 \\e{-t}, 0 <t<1\\0,1<t\leq T und -T<t<0\\2T-periodisch \end{eqnarray*}$ .

(Wie bekomme ich sowas linksbündig hin???)

Ich habe $\begin{eqnarray*} a_0=\frac{1}{T}(1-e^{-1}) \end{eqnarray*}$ heraus. Vielleicht könnte mir jemand hier schon mal ein richtig oder falsch durchgeben - den Lösungsweg würde ich dann im "Falsch-Fall" noch posten.

Für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ brauche ich noch etwas (habe Probleme das partiell zu integrieren - gibt's vielleicht schon 'nen Tip dazu?) ...

Danke für Eure Mühe,
Poldi

11.04.2008, 14:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Poldi
Bei $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ fehlt noch jeweils ein x vor dem letzten "Klammer zu", oder???

Kannst du mal posten, was du da meinst?

Zitat:

Original von Poldi
Und in der letzten Zeile noch T anstelle von Pi im Nenner und als Integralgrenzen!?

Danke für den Hinweis. Hab's korrigiert.

Ich versuche mal deine Funktion zu verstehen:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases}\frac 1 2 & \text{für } t = 0 \\ \frac 1 2 e^{-1} & \text{für } t = 1 \\ e - t & \text{für } 0 < t < 1 \\ 0 & \text{für } 1 < t \leq T \text{ und } -T < t < 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

12.04.2008, 15:09

Poldi

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Poldi
Bei $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ fehlt noch jeweils ein x vor dem letzten "Klammer zu", oder???

Kannst du mal posten, was du da meinst?

Wenn Du mal Deine und meine Zeile für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ vergleichst, dann habe ich da im Argument des Sinus bzw. Cosinus noch das x ergänzt, von dem ich dachte, du hättest es nur vergessen?!?!?! Bei 2-Pi-periodischen ist das Argument doch auch kx und drum dachte ich, dass es jetzt $\begin{eqnarray*} k\frac{\pi}{T}x \end{eqnarray*}$ sein müsste.

Zitat:

Original von klarsoweit

Ich versuche mal deine Funktion zu verstehen:

Richtig verstanden! Danke für's "zurecht rücken!" Allerdings kleine Korrektur (Fehler hatte ich selbst schon in meinen post gebaut):

Für 0 < t < 1 gilt $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-t} \end{eqnarray*}$ und nicht e - t.

Was sagst Du denn unter diesen Umständen zu $\begin{eqnarray*} a_0 = \frac{1}{T}(1-e^{-1}) \end{eqnarray*}$ ???

13.04.2008, 10:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Poldi
Wenn Du mal Deine und meine Zeile für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ vergleichst, dann habe ich da im Argument des Sinus bzw. Cosinus noch das x ergänzt, von dem ich dachte, du hättest es nur vergessen?!?!?!

Au weia, ich muß doch mal zum Augenarzt. Hammer

Hammer

Habe es geändert.

Also das ist jetzt die Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} 0 & \text{für } -T < t < 0 \\ \frac 1 2 & \text{für } t = 0 \\ e^{-t} & \text{für } 0 < t < 1 \\ \frac 1 2 e^{-1} & \text{für } t = 1 \\ 0 & \text{für } 1 < t \leq T \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis für a_0 ist ok.

13.04.2008, 21:14

Poldi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Das Ergebnis für a_0 ist ok.

Yippi! Auch Kleinsterfolge müssen gefeiert werden. Rock

Rock

Also weiter: Für $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ bekomme ich

$\begin{eqnarray*} a_k = \int_{0}^{1}~e^{-t}cos(k\frac{\pi}{T}t)~dt \end{eqnarray*}$ heraus und würde denken, dass ich jetzt partiell integrieren muss, aber das gelingt nicht, weil keiner der Faktoren im neuen Integral verschwindet - egal wierum ich's drehe!!! Wat nu???

Bei $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ dasselbe in grün!

14.04.2008, 08:40

klarsoweit

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Wenn ich das richtig sehe, mußt du zweimal partiell integrieren. Dann bekommst du das Integral auf der rechten Seite nochmal. Das bringst du dann auf die linke Seite und löst danach auf.

Alternativ das Integral im Bronstein nachschauen. smile

smile

15.04.2008, 11:10

Poldi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn ich das richtig sehe, mußt du zweimal partiell integrieren. Dann bekommst du das Integral auf der rechten Seite nochmal. Das bringst du dann auf die linke Seite und löst danach auf.

Ach ja! Da war mal was ...

Also, wenn ich mich nicht verrechnet habe müsste dann

$\begin{eqnarray*} a_k = \frac{1}{2}-\frac{1}{2e}(cos(k\frac{\pi}{T})+sin(k\frac{\pi}{T})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_k = -\frac{1}{2}+\frac{1}{2e}(cos(k\frac{\pi}{T})-sin(k\frac{\pi}{T})) \end{eqnarray*}$

herauskommen.

Kann man da jetzt nochwas vereinfachen oder sind die Fourier-Koeffinzienten so "fertig"?

15.04.2008, 11:51

klarsoweit

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Also eine Vereinfachung sehe ich jetzt nicht. Und wenn das richtig gerechnet ist (hab's nicht nachgerechnet), wären die damit fertig. smile

smile

15.04.2008, 12:34

Poldi

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Super!

Vielen Dank für die Hilfe!!!

Für mein nächstes Fourier-Reihen-Problem mache ich bestimmt bald einen neuen thread auf ...
Würde mich freuen, wenn Du dann wieder dabei bist!!!

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