Kombinationen 1-1000

20.11.2007, 18:13

Habor

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Kombinationen 1-1000

Hallo Leute,
ich habe ein Problem. Ich möchte gerne eine Formel aufstellen, mit der ich berechnen kann, wie viele verschiedenen Zahlenkombinationen es von den Zahlen 1-1000 gibt. Wobei jeder Zahl pro Kombination nur einmal auftreten darf.
Wie z.B. bei Folgendem:

Zahlen 1-3:
1
12
13
123
132
2
21
23
213
231
3
31
32
312
321

Es gibt also max. 15 Kombinationen von den Zahlen 1-3.
Ich brauche eine Formel, die kürzer ist, als eine, die alle Zahlen von 1-1000 beinhaltet! Es muss ein Mensch berechnen können! Das Ergebnis habe ich nämlich schon durch ein eigens dafür geschriebenes Programm berechnen lassen.
Ich brauche also nur eine "simple" Formel zur Berechnung menschlicher Seits.

Danke schonmal im Voraus.

20.11.2007, 18:19

ushi

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RE: Kombinationen 1-1000
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{1000}~\frac{1000!}{k!(1000-k )!} \end{eqnarray*}$

wenn ich mich nicht vertan habe.

20.11.2007, 18:24

Habor

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Geht das auch auf Deutsch? Das ist mir zu hoch! unglücklich

unglücklich

20.11.2007, 19:12

Habor

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Ach, wenn du die Fakultät meinst, das kannst du vergessen. Die bringt nicht das was ich brauche und auch das Ergebnis ist um einiges kleines, als es sollte.

20.11.2007, 19:24

ushi

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da is noch ein summenzeichen davor.

das bedeutet:

wenn k=1, berechnet der term die anzahl aller einstelligen kombinationen
wenn k=2, aller 2stelligen
...
bis k=1000

und am ende wird alles zusammengezählt.

is doch genau das was du willst.

20.11.2007, 19:54

AD

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Nicht ganz: Bei Habor spielt die Reihenfolge der Auswahl durchaus auch eine Rolle. Lässt sich aber mit einer kleinen Reparatur deiner Formel beheben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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20.11.2007, 19:55

Habor

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Ähm ich bräuchte eigentlich eine Formel, wo ich nicht alle Zahlen von 1-1000 eintragen muss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ansonsten hätte ich nämlich schon sowas.

20.11.2007, 20:35

AD

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Zitat:

Original von Habor
Ansonsten hätte ich nämlich schon sowas.

Und warum schreibst du das hier nicht hin? Wenn du es tust, dann kann man noch was tun - was mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ - aber ich spiele jetzt auch mal Verstecken... Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.11.2007, 21:55

Airblader

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Zitat:

Original von Habor
Ähm ich bräuchte eigentlich eine Formel, wo ich nicht alle Zahlen von 1-1000 eintragen muss. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das jagst du durch einen GTR oder entsprechendes Programm.

$\begin{eqnarray*} \text{Maple: }\sum_{k=1}^{1000}\frac{1000!}{k!(1000-k)!} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 10715086071862673209484250490600018105614 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 04811705533607443750388370351051124936122 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 49319837881569585812759467291755314682518 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 71452856923140435984577574698574803934577 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 77482423098542107460506237114187795418215 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 30464749835819412673987675591655439460770 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 62914571196477686542167660429831652624386837205668069375 \end{eqnarray*}$

Aber gut, stimmt ja so eh noch nicht ... Big Laugh

Big Laugh

air

20.11.2007, 22:30

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Dafür kann man auch einfach $\begin{eqnarray*} 2^{1000}-1 \end{eqnarray*}$ schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wie gesagt, dass ist eh nicht das richtige.

20.11.2007, 22:32

Airblader

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Dafür kann man auch einfach $\begin{eqnarray*} 2^{1000}-1 \end{eqnarray*}$ schreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

So siehts aber toller aus smile

smile

air

21.11.2007, 16:43

Habor

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Nun, also ich fand heraus, dass die erste Reihe einer Zahl sich aus den Gesamtkombinationen der Zahl davor + 1 ergibt.

Als erste Reihe meine ich sowas:
Beispiel bei 1-3:
1
12
13
123
132

Als zweite Reihe das:
2
21
23
213
231

usw.

Bei meinem Programm kam ich auf rund 1.0938 * 10^2568 bei den Zahlen von 1-1000. (Dafür benötigte ich das Beste, was das Programm zu bieten hat an Variablen!)

21.11.2007, 17:54

AD

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Nicht nur rund, es sind genau $\begin{eqnarray*} \lfloor n!\cdot e \rfloor-1 \end{eqnarray*}$ Varianten, in deinem Fall für $\begin{eqnarray*} n=1000 \end{eqnarray*}$ .

21.11.2007, 19:05

Habor

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Könntest du das mal ein wenig genauer ausführen? Was ist dieses "e"? Erstaunt2

Erstaunt2

Ich mag zwar Mathe, bin aber in der 11. und von daher kenne ich noch nicht alle Formeln, bzw. Formelzeichen. Hilfe

Hilfe

Edit: Meinst du vielleicht die Euler’sche Zahl? Wenn ja, ist das Ergebnis niemals was mit 10^2568.

21.11.2007, 19:35

AD

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Zitat:

Original von Habor
Edit: Meinst du vielleicht die Euler’sche Zahl?

Ja, die meine ich.

Zitat:

Original von Habor
Wenn ja, ist das Ergebnis niemals was mit 10^2568.

Ich schlage vor, du rechnest einfach nochmal nach.

22.11.2007, 15:37

Habor

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Das hat sich wohl doch alles erledigt. Ich fragte heute meine Mathematiklehrerin endlich und sie hat gesagt, dass eine Formel unter diesen Umständen, bzw. in meiner gewünschten Größe nicht möglich ist.

Ich habe nachgerechnet und es bleibt bei 1.0938 * 10^2568.
Bei 3 würde nach deiner Rechnung eine Kommazahl rauskommen, was ja schon so unlogisch ist! (13.222..., aber es sind eig 15)
Wer will kann darüber noch weiterdiskutieren, ich habe was ich wollte.

Trotzdem vielen Dank für eure Hilfe. Freude

Freude

22.11.2007, 16:09

AD

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Eigentlich hatte ich gemeint, dass du mal $\begin{eqnarray*} \lfloor 1000!\cdot e\rfloor - 1 \end{eqnarray*}$ ausrechnest - da kommen nämlich auch die 1.0938 * 10^2568. raus...

Zitat:

Original von Habor
Bei 3 würde nach deiner Rechnung eine Kommazahl rauskommen, was ja schon so unlogisch ist! (13.222..., aber es sind eig 15)

Grober Unfug:

$\begin{eqnarray*} \lfloor 3!\cdot e\rfloor -1 = \lfloor 16.30969\ldots \rfloor -1= 16-1 = 15 \end{eqnarray*}$

Schlag mal bei "Gaußklammern" nach. Forum Kloppe

Forum Kloppe

P.S.: Ich prüfe mehrmals nach, bevor ich einem anderen vorhalte, er hätte sich verrechnet. Das würde ich dir auch mal empfehlen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2007, 16:14

ushi

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oja stimmt. das mit der nichtberücksichtigung der reihenfolge in meinem term. ich bitte um vergebung. Gott

Gott

22.11.2007, 19:50

Habor

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Ich... ok... ich muss mich entschuldigen. Habe einen falschen Wert bei der Euler'schen Zahl verwendet. Hammer

Hammer

Gott

Das ist genial! (Mal sehen, was meine Mathelehrerin dazu sagt! Big Laugh

Big Laugh

)

Das musst du jetzt aber mal erklären! Wie bist du darauf gekommen? Erstaunt2

Erstaunt2

fröhlich

22.11.2007, 20:07

AD

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Das ist nicht genial, das ist einfache Kenntnis der e-Reihe: Der richtige Anzahlwert ist

$\begin{eqnarray*} a_n = \sum_{k=1}^n ~ \frac{n!}{(n-k)!} = \sum_{j=0}^{n-1} ~ \frac{n!}{j!} \end{eqnarray*}$ ,

das ist wie bei ushi, nur mit Berücksichtigung der Reihenfolge. Mit $\begin{eqnarray*} e = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{1}{j!} \end{eqnarray*}$ folgt dann

$\begin{eqnarray*} n!\cdot e - a_n = \left( \sum_{j=0}^{\infty} \frac{n!}{j!} \right) - \left( \sum_{j=0}^{n-1} ~ \frac{n!}{j!} \right) = \sum_{j=n}^{\infty} ~ \frac{n!}{j!} = 1 + \sum_{j=n+1}^{\infty} ~ \frac{n!}{j!} \end{eqnarray*}$

Für den verbleibenden Reihenrest kann man leicht $\begin{eqnarray*} 0 < \sum_{j=n+1}^{\infty} ~ \frac{n!}{j!} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ abschätzen (über geometrische Reihe als Majorante), womit die Sache mit der Gaußklammer dann klar geht:

$\begin{eqnarray*} a_n < a_n+ \sum_{j=n+1}^{\infty} ~ \frac{n!}{j!} = n!\cdot e - 1 < a_n+ \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

führt wegen $\begin{eqnarray*} a_n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ bei Ganzzahlbildung zu

$\begin{eqnarray*} a_n = \lfloor n!\cdot e \rfloor -1 \end{eqnarray*}$ .

22.11.2007, 20:18

Habor

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Zauberer!

Gott

Ok, danke. Wann hattet ihr das in der Schule, damit ich mich ungefähr darauf vorbereiten kann?

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