Abschätzung für s.p.d. Matrizen

20.11.2007, 18:30

Fletcher

Abschätzung für s.p.d. Matrizen

Guten Tag,

es geht mir um folgendes:

Es sei $\begin{eqnarray*} A \in \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray*}$ symmetrisch positiv definit. Zeige, dass für alle Indizes $\begin{eqnarray*} i \neq j \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1\leq i,j\leq n \end{eqnarray*}$ , gilt:

$\begin{eqnarray*} |a_{i,j}|<\frac{1}{2}(a_{ii}+(a_{jj}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} |a_{i,j}| < \sqrt{a_{ii}a_{jj}} \end{eqnarray*}$

Meine Idee ist folgende, die Matrix A besitzt ja eine Cholesky-Zerlegung der Form $\begin{eqnarray*} A=LL^t \end{eqnarray*}$ , wenn man das nun allgemein für eine 3x3 Matrix beispielsweise hinschreibt, sieht man sehr schnell das die Abschätzungen gelten müssen. Aber mir fehlt jetzt der Schritt das ganze zu verallgemeinern. Ich bin bisher soweit, dass ich mir eine allgemeine Matrix untere Dreiecksmatrix L hernehme

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} l_{11} & 0 & 0 \\ l_{21} & l_{22} & 0 \\ l_{31} & l_{32} & l_{33} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dies dann transponiere und, eben multipliziere mit ihrer Transponierten. Anschließend kann ich einen Koeffizientenvergleich durchführen und man sieht diese Abschätzungen sofort. Ist es damit schon gezeigt? Wäre schön wenn ihr vielleicht einen anderen Ansatz noch hättet

20.11.2007, 21:25

Mazze

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Du kannst für die Ungleichungen die Definition der positiven Definitheit ansetzen

$\begin{eqnarray*} x^TAx \geq 0 \end{eqnarray*}$

Und dabei folgende Vektoren betrachten

$\begin{eqnarray*} x_{ij} = (0,0,...,0,-1,0,.....,1,0,...0)^T \end{eqnarray*}$ an Stelle i -1 and Stelle j 1

$\begin{eqnarray*} y_{ij} = (0,0,...0,1,....,0,1,0,...0)^T \end{eqnarray*}$ an Stelle i 1 und j 1

Wenn Du dann mal

$\begin{eqnarray*} x_{ij}^TAx_{ij} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y_{ij}^TAy_{ij} \geq 0 \end{eqnarray*}$

Betrachtest und mal "ausrechnest" und äquivalent umformst kommst Du mit Hilfe der Symmetrie auf 2 Ungleichungen. Diese addiert geben dir die Behauptung. So hab ich das damals zumindest gelößt und man bekommt auch das was man erwartet. Geht sicher auch eleganter Augenzwinkern

Für die zweite Ungleichung betrachte den Vektor

$\begin{eqnarray*} w = (0,0,....,v_i,0,....0,v_j,0,...,0)^T || v_i,v_j > 0 \end{eqnarray*}$

und benutze wieder das

$\begin{eqnarray*} w^TAw \geq 0 \end{eqnarray*}$

Sind beides Rechenbeweise aber Du erhälst das was gefordert ist Augenzwinkern

Zu deinem Lösungsansatz kann ich jetzt nichts sagen aber eventuel Morgen Augenzwinkern

21.11.2007, 16:21

Fletcher

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Mein Lösungsansatz ist auch ne Diskussion wert finde ich Augenzwinkern

deinen werde ich mir gleich mal mit papier und bleistift überlegen und sage beschscheid falls ich was nicht checken sollte.

bis nachher

21.11.2007, 19:12

Fletcher

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Also bei der ersten habe ich das mal mit diesen beiden Vektoren und einer 5x5 Matrix durchgespielt.
$\begin{eqnarray*} x=(0,-1,0,1,0)^T \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=(0,1,0,1,0)^T \end{eqnarray*}$

für die Berechnung $\begin{eqnarray*} x^tAx \end{eqnarray*}$ erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} a_{22}-a_{24}-a_{42}+a_{44} \geq 0 \end{eqnarray*}$

analog $\begin{eqnarray*} y^tAy \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a_{22}+a_{24}+a_{42}+a_{44}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt beide Gleichungen addiere, komme ich doch nicht mehr auf das Gewünschte oder habe ich mal wieder einen groben Schnitzer gemacht?
Wenn die Matrix symmetrisch ist, dann reicht mir ja sogar schon, die erste Gleichung mit x, da dann $\begin{eqnarray*} a_{24}=a_{42} \end{eqnarray*}$ gilt.

Bei deiner zweiten Idee komme ich auch auf ein komisches Ergebnis, habe eine 3x3 Matrix betrachtet und den Vektor $\begin{eqnarray*} (v_1,0,v_3)^t \end{eqnarray*}$ Nach dem Ausmultiplizieren steht folgendes da:

$\begin{eqnarray*} a_{11}v_1^2+a_{13}v_1v_3+a_{31}v_1v_3+a_{33}v_3^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

21.11.2007, 20:30

Mazze

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Sieht doch gut aus. Im Übrigen sollst Du bei dem Ansatz eine bel. Matrix A nehmen. Erstmal zum zweiten ich hab mich da etwas geirrt, man sollte 2 Vektoren

$\begin{eqnarray*} (0,0,....,v_i,....,v_j,0,...,0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (0,0,....,v_i,....,-v_j,0,...,0) \end{eqnarray*}$

mein Fehler! Damit kommt man dann auf

$\begin{eqnarray*} a_{11}v_1^2 - 2 a_{13}v_1v_3 + a_{33}v_3^2 > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{11}v_1^2 + 2 a_{13}v_1v_3 + a_{33}v_3^2 > 0 \end{eqnarray*}$

Setze jetzt

$\begin{eqnarray*} v_1 = \frac{1}{\sqrt{a_{11}}}, v_3 = \frac{1}{\sqrt{a_{33}}} \end{eqnarray*}$

Warum Du das machen kannst , kannste Dir ja mal überlegen Augenzwinkern

. Da Deine Matrix positiv definit ist musst Du alles mit > 0 ersetzten. (muss ich auch Augenzwinkern

) . Wenn Du beide Ungleichungen gut anschaust kannste was über die Beträge rauskriegen Augenzwinkern

So zum zweiten :

Da bist Du fast schon fertig stell mal um Du erhällst :

$\begin{eqnarray*} a_{22} + a_{44} > 2a_{21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{22} + a_{44} > -2a_{21} \end{eqnarray*}$

jetzt schau Dir das mal genau an was das bezüglich Betragsstrichen heisst Augenzwinkern

21.11.2007, 21:00

Fletcher

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Danke Mazze,

das mit den ersten Teil habe ich mittlerweile auch bemerkt, nachdem ich das genauso auf das Blatt geschrieben hatte. Jetzt mache ich das noch allgemein für i,j und schon ist es gezeigt.

$\begin{eqnarray*} a_{22} + a_{44} > 2a_{21} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{22} + a_{44} > -2a_{21} \end{eqnarray*}$

Naja das heißt ja gerade: smile

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}(a_{22} + a_{44}) > |2a_{21}| \end{eqnarray*}$
Aber:

$\begin{eqnarray*} v_1 = \frac{1}{\sqrt{a_{11}}}, v_3 = \frac{1}{\sqrt{a_{33}}} \end{eqnarray*}$

Warum man diese Substitution benutzt muss ich mir noch überlegen. Aber spontan fällt mir ein dass auf der Diagonalen nur pos. Werte stehen dürfen, da ja die Matrix pos. definit ist, d.h. pos. Eigenwerte und die spur ist die summe der eigenwerte in diesem fall die diagonalelemente oder?

Danke dir schonmal smile