konvergenzverhalten

20.11.2007, 19:07

xole_X

konvergenzverhalten

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~(ln(k²-1)-ln(k²)) \end{eqnarray*}$

Ich soll diese Reihe auf Konvergenz prüfen.
zuerst mal hab ich ln zusammengezogen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ln (\frac{k²-1}{k²} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ln (1-\frac{1}{k²} ) \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{k²} )^k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ konvergiert, hab ich mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} k*ln(1-\frac{1}{k²} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(\frac{1}{e})}{k} \end{eqnarray*}$

also -1/k
...1/k ist divergent, aber was ist mit -1/k

kann man das überhaupt so machen?

20.11.2007, 19:09

xole_X

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RE: konvergenzverhalten
ok ich hab schon meinen fehler gesehen...das konvergiert gar net gegen 1/e

20.11.2007, 19:28

xole_X

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RE: konvergenzverhalten
also nochmal von vorne:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~(ln(k²-1)-ln(k²)) \end{eqnarray*}$

Ich soll diese Reihe auf Konvergenz prüfen.
zuerst mal hab ich ln zusammengezogen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ln (\frac{k²-1}{k²} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ln (1-\frac{1}{k²} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ln ((1-\frac{1}{k} )* (1+\frac{1}{k}) ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ln (1-\frac{1}{k}) + ln (1+\frac{1}{k} ) \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{k} )^k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{e} \end{eqnarray*}$ konvergiert und $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{k} )^k \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ , hab ich mir folgendes gedacht:

$\begin{eqnarray*} k*ln(1-\frac{1}{k} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(\frac{1}{e})}{k} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} k*ln(1+\frac{1}{k} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln(e) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{ln(e)}{k} \end{eqnarray*}$

also -1/k + 1/k=0
...sagt mir das was aus?

kann man das überhaupt so machen?

21.11.2007, 09:42

klarsoweit

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RE: konvergenzverhalten

Zitat:

Original von xole_X
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~(ln(k²-1)-ln(k²)) \end{eqnarray*}$

Heidinei, was für ein Gewurschtel. unglücklich

Das fängt schon mal damit an, daß in obiger Summe der Summand für k=1 nicht definiert ist.

Zitat:

Original von xole_X
$\begin{eqnarray*} k*ln(1+\frac{1}{k} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} ln(e) \end{eqnarray*}$

Das heißt nach deiner Rechnung gilt für alle k $\begin{eqnarray*} k \cdot ln(1+\frac{1}{k} ) = ln(e) = 1 \end{eqnarray*}$ ?
Ich glaube, das hatten wir hier auch noch nicht. smile

Mit einem guten mathematischen Blick sieht man, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n~(ln(k^2-1)-ln(k^2)) = -ln(2) + ln(1 + \frac 1 n) \end{eqnarray*}$

Das kann man leicht mit vollständiger Induktion zeigen.

Und wie kommt man darauf? Hier hilft eine kleine Umformung:
$\begin{eqnarray*} ln(k^2-1)-ln(k^2) = ln(k+1) + ln(k-1) - 2ln(k) = ln(k+1) - ln(k) - (ln(k) - ln(k-1)) \end{eqnarray*}$

Und man sieht 2 Teleskopsummen. Augenzwinkern

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