Laurent Reihe

18.04.2005, 23:52	Bahlsen_Elfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurent Reihe Hallo 1. Bestimmen sie Lage und Typ aller Singularitäten der folgenden Funktion: $\begin{eqnarray} f(z)= (z-2j)/(z^4+2z^2-8) \end{eqnarray}$ dabei habe ich die Nullstellen berechnet mit: 2j, -2j,w(2),-w(2) danch eine Pbz gemacht: A=0 B=-1/6 C=1/12-w(2)/12j D=1/12+w(2)/12j wia haben zwar in der vorlesung die laurent entwicklung durchgemacht, jedoch ist mir unklar, wie man den kreisring wählen soll. und wie man danach die laurent reihe in eine geomentriche reihe entwickeln soll. speziell, wie ich auf den hauptteil und nebenteil kommen soll 2. bestimmen sie die residuen der isolierten singularitäten $\begin{eqnarray} f(z)=z^5cos(1/z) \end{eqnarray*}$ ich habe die reihe aufgestellt und festgestellt, dass es sich um eine wesentliche singularität handelt. aber wie wendet man den residuensatz auf eine wesentliche singularität an?? ich wäre um jede theoretische oder mathematische lösung dankbar vielen dank im voraus mfg bahlsen_elfe
19.04.2005, 18:37	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu 2) Entwickle f(z)=z^5*cos(z) um 0 in eine Laurentreihe. Dann ist das Residuum von f in 0 der Koeffizient der Laurentreihe bei der Potenz 1/z.
19.04.2005, 19:52	Bahlsen_Elfe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent Reihe danke für den tip, er hat mir wirklich weiter geholfen und ich konnte das 2te bsp lösen. wenn mir jemand zum 1ten bsp. noch einen tip geben könnte, wie ich die typen der singularitäten bestimmen kann, wäre ich sehr dankbar. mfg
19.04.2005, 20:15	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme die Nullstellen des Nenners. Nach Definition ist $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ ein k-facher Pol von f(z) genau dann wenn $\begin{eqnarray} (z-z_0)\cdot f(z) \end{eqnarray}$ in einer Umgebung von $\begin{eqnarray} z_0 \end{eqnarray}$ beschränkt bleibt. Jetzt beachte was deine Funktion in den Umgebungen der Nullstellen des Nenners macht.
19.04.2005, 21:55	Bahlsen_Elfe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent Reihe hallo martins1 wenn du $\begin{eqnarray} (z-z0)^kf(z) \end{eqnarray*}$ meinst, meine ich zu verstehen wast du meinst aber muss ich nicht vorher die funktion in eine laurent reihe entwickeln , um diese formel anzuwenden. jedoch liegt genau hier mein problem sollte ich deinen lösungsweg nicht ganz verstanden haben, könntest du ihn vielleicht etwas detailierter beschreiben. bitte mfg
20.04.2005, 16:35	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, ich habe den Exponenten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ vergessen. Nein, man muss die Funktion nicht explizit in eine Laurent-Reihe entwickeln. Nehmen wir ein einfaches Beispiel $\begin{eqnarray} f(x)=\frac{1}{x^2-1} \end{eqnarray}$ Nullstelle des Nenners ist 1. Weil der Grenzwert $\begin{eqnarray} \lim_{z \to 1} (z-1)\cdot \frac{1}{z^2-1}= \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ existiert, ist auch $\begin{eqnarray} (z-1)\cdot f(z) \end{eqnarray}$ lokal um 1 beschränkt und 1 ist ein einfacher Pol von f(z). Das selbe Spielchen kann du auch für deine Funktion wiederholen.
Anzeige

20.04.2005, 17:36	manOman	Auf diesen Beitrag antworten »
bei den einfach Beispiel bekomme ich doch 2 Residuen, nicht wahr oder kann ich mir da einen schenken? denn Polstellen gibt es bei +/- 1 also muss ich mir die Residuen für diese beiden Anschauen. Allerdings bekomme ich nur ein anderes VZ, d.h +/- 0,5.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »