Rekursionsgleichung |
08.10.2007, 15:50 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
quadratwurzel nach heron unter benutzung von excel Die aufgaben: Es soll ein Näherungswert für wurzel 3 angegeben werden. nimm an dass xn ein etwas zu großer näherungswert is wie kommt es dann das 3/xn ein zu kleiner wert ist? dann soll ich mit dem tabellenkalkulationsprogramm näherungswerte für wurzel 3,5,10,37,345,1079 ausrechnen. Dann soll ich die 3. wurzel aus den zahlen 5,10,37,345,1079 ermiteln und begründen warum die formeln xn+1=1/2*(xn+a/(xn)²) und die formel xn+1=1/3*(2xn+a/(xn)²) geeignet sind. ich hoffe ich hab euch nicht mit den aufgaben erschlagen^^ bitte helft mir (das / soll ein geteilt durch ein ich wusste net wie ich das schreiben sollte) |
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08.10.2007, 15:54 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Heron-Verfahren Wir haben da auch einen Formeleditor. Bevor wir ein Programm schreiben, wie Funktioniert denn die Wurzelberechnung mit dem Verfahren von Heron? |
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08.10.2007, 16:12 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: quadratwurzel nach heron unter benutzung von excel
Es fehlt die Angabe eines Startwerts, z.B. oder . Dann gilt jeweils . |
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08.10.2007, 16:39 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sry hab vergessen da steht, dass a positive zahl ist und bite wenn ihr mir das erklährt dann bitte auf dem niveau eines 9. klässlers^^ schonmal danke für die antworten |
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08.10.2007, 16:40 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie wäre es mit einer Antwort auf meine Frage? |
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08.10.2007, 16:44 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmmmmm .............. ich hab das mal rausgesucht Einsatz von Excel Das Heron-Verfahren Tabellenkalkulation: Ein Tabellenkalkulationsprogramm wie z.B. Excel ist ein Universalwerkzeug aus dem kaufmännischen Bereich. Es wird benutzt, um eine * Vielzahl von Berechnungen vorzunehmen und * Ergebnisse auf viele verschiedene Arten als Diagramm darzustellen Grundlagen: Nach dem Start des Programms ist ein * Tabellenblatt zu sehen * Es besteht aus vielen Zellen, deren Lage durch die Angabe einer Spalte und einer Zeile bestimmt ist. Die Spalten werden in alphabetischer Reihenfolge mit Buchstaben, die Zeilen mit Nummern benannt. Im folgenden Bild steht in der Zelle A3 der Wert 5. In einer Zelle stehen * Texte Sie werden automatisch linksbündig geschrieben und dienen häufig zur Erläuterung * Zahlen Zahlen werden per Voreinstellung rechtsbündig geschrieben * Formeln Formeln beginnen mit einem Gleichheitszeichen. Sie enthalten Werte und / oder Bezüge und sind wie ein Text aufgebaut. Berechnung der Quadratwurzel aus 15 1. Schritt: Gegeben ist ein Rechteck mit dem Flächenmaß 15. Es besitzt die Kantenlängen a = 15 und b = 1. 2. Schritt: Der Mittelwert der beiden Kantenlängen wird bestimmt. Dieser Wert ist nun die neue erste Kantenlänge a2. Die zweite Kantenlänge b2 ergibt sich, indem die Fläche durch a2 geteilt wird. 3. Schritt: Das Verfahren wiederholt den zweiten Schritt, bis die beiden Kantenlängen sich kaum noch unterscheiden. Man erhält diese Tabelle: Somit entsteht folgende Iteration: 1. a1 = a und b1 = 1 2. a2 = (a1 + b1) / 2 und b2 = a / a2 . 3. ai+1 = (ai + bi) / 2 und bi+1 = a / ai für i>1. Aufgaben: 1. Erstelle in Excel eine Tabelle zur Berechnung der Quadratwurzel. 2. Ist die Tabelle auch für andere Radikanten zu verwenden? 3. Was ändert sich am Ergebnis oder an der Berechnung, wenn versehentlich in einer Zelle ein falscher Wert vorgegeben wird? 4. Überlege dir Möglichkeiten, die Genauigkeit des Ergebnisses zu bestimmen. Berechnung der dritten Wurzel Das Heron-Verfahren lässt sich auch für die Berechnung der dritten Wurzel aus einer rationalen Zahl heranziehen. Gesucht ist also z.B. eine positive Lösung der Gleichung x3 = a , a e Q+ Anschaulich geht man von einem Quader mit dem Raummaß a sowie den Kantenlängen x1 = a , y1 = 1 und z1 = 1 aus. Im ersten Schritt wird nun der Mittelwert der drei Kantenlängen x1, y1 und z1 bestimmt und x2 zugeordnet. Da für die zweite Kante y2 = x2 gilt, muss sich z2 aus z2 = a / ( x2 * y2 ) ergeben Somit entsteht folgende Iteration: 1. x1 = a , y1 = 1 und z1 = 1 2. x2 = (x1 + y1 + z1) / 3 y2 = x2 , z2 = a / ( x2 .* y2 ) 3. xi+1 = ... yi+1 = ... , zi+1 = .... Aufgaben: 1. Wie lautet die fehlende Iterationsformel? 2. Erstelle in Excel eine Tabelle zur Berechnung der dritten Wurzel. 3. Bei der Berechnung kann auf ein Parameter (hier y) verzichtet werden. Passe die Tabelle entsprechend an. 4. Wie lässt sich die n-te Wurzel aus einer positiven, rationalen Zahl bestimmen? Berechnung der n-fachen Wurzel Das Heron-Verfahren lässt sich auch für die Berechnung der n-fachen Wurzel aus einer rationalen Zahl heranziehen. Gesucht ist also z.B. eine positive Lösung der Gleichung xn = a , a e Q+ Abstrakt gedacht geht man von einem Quader mit n Dimensionen sowie dem Raummaß a aus. Die Kanten dieses n-dimensionalen Quaders werden mit x(1), x(2), ...x(n) bezeichnet. Da sich die Kantenlängen durch die Iteration verändern, muss durch einen Index i die Iterationsstufe mit berücksichtigt werden. Somit werden die Kantenlängen in der 3. Stufe mit x3(1), x3(2), x3(3), ..., x3(n) bezeichnet. Es gilt anfangs für die Kantenlängen x1 (1) = x1 (2) = x1 (3) = ... x1 (n-1) = 1 und x1 (n) = a. Im ersten Schritt wird nun der Mittelwert M1 aller Kantenlängen x1(1)...x1(n) bestimmt: M1 = [x1 (1) + x1 (2) +... + x1 (n-1) + x1 (n) ] / n . Für die Kantelängen der zweiten Stufe ergibt sich: x2 (1) = x2 (2) = x2 (3) = ... x2 (n-1) = M1 und x2 (n) = a / [ M1 (n-1)] Für den neuen Mittelwert M2 ergibt sich: M2 = [(n-1)*x2 (1) + x2 (n) ] / n . Somit sind nur noch zwei Kanten von Bedeutung: sie werden jetzt mit xi und yi bezeichnet. Es ergibt sich: x1 = 1 und y1 = a sowie xi+1 = [(n-1)*xi + yi ] / n und yi+1 = a/[xi+1(n-1)] . Aufgaben: 1. Es soll eine Näherungslösung für die Gleichung x6 = 40 bestimmt werden. a) Führe drei Iterationsschritte mit dem Taschenrechner aus. b) Bestimme die Lösung mit Hilfe der Tabellenkalkulation möglichst genau. 2. Begründe, dass sich für n=2 das im Unterricht behandelte Heron-Verfahren ergibt. Zusammenhang mit dem Newton-Verfahren Das im letzten Schritt verallgemeinerte Heron-Verfahren lässt sich als Spezialfall des Newton-Verfahrens auffassen. Für das allgemeine Heron-Verfahren ergab sich: (1) x1 = 1 (2) y1 = a (3) (4) Eigentlich ist die Berechnung der yi überflüssig. Setzt man in (3) für yi ein, so ergibt sich: Für das Newton-Verfahren gilt |
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08.10.2007, 16:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entweder solltest Du als "Tippse" arbeiten oder Du hast den Text einfach irgendwoher kopiert. Durch das unformatierte Chaos werde ich mich jetzt nicht durcharbeiten. Ich hatte eine "deutliche" Frage gestellt und möchte mir dazu nicht die Antwort noch selbst zusammensuchen müssen. Heron-Verfahren In deinem Sammelsurium fiel auch der Begriff Newton-Verfahren. Nun hat dich der arme therisen ja schon durch den Limes verwirrt, kennst Du denn das Newton-Verfahren und was die geometrische Idee dabei ist? |
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08.10.2007, 16:54 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
grinz ertappt ich hab das nur kopiert bin gerade dabei das verfahren zu beschreiben |
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08.10.2007, 17:04 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
schriftlich scheint das mit der intervall schachtlung zu gehen bsp. man wählt für b1=5 dann ist a1=17 \5=3,4 dann (a1+b1)/2=4,2 diesen wert nimmt man als neuen b wert also, a2= 17/4,2=4,05 (grundet) dann wieder (a2+b2)/2=4,125 diesen wert wieder als b einsetzen a3=17/4.125=4.12121 (gerundet) mann sieht das bei 4,125 und 4,12121 die ersten beinen stellen hinter dem komma gleich sind, das sind dann auch die stellen in der wurzel. Dieses verfahren kann man nach belieben weriterführen um die wurzel noch genauer zu bestimmen |
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08.10.2007, 17:08 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bist nicht wirklich der Meinung, dass man das gut lesen kann, oder? Hier mal ein paar Links für Dich zum Lesen, derweil schreibe ich eine Antwort. Schön, dass Du den Weg in unser Forum gefunden hast. Hier ein paar nützliche Hinweise für deinen Start:
Dass Du das am Anfang noch nicht alles kannst ist uns bewußt. Der gute Wille zählt und Übung macht den Meister. Also pack es an http://www.smileygarden.de/smilie/Computer/35.gif LG, tigerbine _____________________________________________________________ |
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08.10.2007, 17:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was soll da heißen, schriftlich scheint es mit Intervallschachtelung zu gehen? Und mündlich? Ist das Verfahren von Heron also immer mal wieder anders? Das glaube ich nicht. Auch bist Du wieder nicht auf meine Fragen eingegangen, z.B. kennst du das Newton-Verfahren. Bevor man nun an einen Beispiel rumbastelt, sollte man sich vielleicht einmal überlegen:
Ziel ist es doch im ersten Teil deiner Aufgabe die Quadratwurzel einer positiven reellen Zahl a zu bestimmen. Diese formal als geschriebene Zahl löst folgende quadratische Gleichung: (*) D.h. mit dem Verfahren kann man auch eine Nullstelle der Funktion f(x)=x²-a bestimmen. (Hinweis 1 für "Spezialfall des Newtonverfahrens") Wie soll man denn die Wurzel bestimmen? Dazu werden wir irgendeinen "Startwert" brauchen oder ein "Startintervall" (Intervallschachtelung). Deine a,b beziehen sich aber nicht auf ein Intervallschachtellungsverfahren mit dem man auch die Lösung von (*) bestimmen kann, sondern stellen die Seitenlängen eines Rechtecks dar (Veranschaulichung Heron) Bevor es nun weitergehen kann, notiere mit unserem Formeleditor die Vorschrift des Heron-Verfahrens, die Dir in der Schule gegeben wurde. |
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08.10.2007, 17:27 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
um nun auf deine frage zu antworten nein ich kenne das Newton-Verfahren nicht mir wurde auch kein material über das heron verfahren gegeben das was ich als allererstes geschreiben habe ist alles was sie mir gegeben hat |
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08.10.2007, 17:34 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und woher hast Du dann diesen langen Post geklaut? |
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08.10.2007, 17:36 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja ich hab schonmal im internet recherchiert^^ |
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08.10.2007, 17:44 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
^^ Ist da der beste Kommentar dafür. Dann können wir obigen post ja ignorieren. Aufgaben
Fangen wir mit 1. an. Es gilt also nach Angabe Und zu zeigen ist, dass gilt: Mit dem Wissen solltest Du das begründen können. Also? |
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08.10.2007, 17:49 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm... was mich irritiert is das ich nicht weiß was x ist ist das irgendeine positive zahl? |
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08.10.2007, 17:51 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jupp, irgendeine pos. Zahl,, gößer |
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08.10.2007, 18:04 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also man muss das umformen <3 /* dann steht da <3 wenn jetzt xn währe würde das genau 3 ergeben aber xn mus ja größer sein somit weicht der wert ab und wird kleiner da man durch eine zahl die größer ist teilt |
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08.10.2007, 18:20 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rechtschreibung und Layout. Ein bisserl Mühe, büdde Das ist gegeben (*) Das benutzt Du, indem Du es umstelltst Nun ersetzt mal die rechte Seite der Ungleichung (*) |
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08.10.2007, 18:27 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so ? |
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08.10.2007, 18:29 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nun wollen wir ja am Ende den Ausdruck abschätzen. D.h. wie bekommen wir diesen Ausdruck nun aus |
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08.10.2007, 18:45 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
/* >3 /: > |
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08.10.2007, 18:49 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so das is nu bewiesen was iss mit den anderen aufgaben? |
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08.10.2007, 18:55 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Drängelst ja gar nicht, oder? Nun sollst du also noch näherungsweise bestimmen. Laut Überschrift also mit dem Heron-verfahren. Dazu müssen wir ja erst einmal klären, wie dieses Verfahren funktioniert. Hsast Du den Link gelesen. Kannst Du mir dann mit eigenen Worten erklären, wir man auf die Rekursionsvorschrift kommt? |
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08.10.2007, 19:01 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
link???????? ahhh hab ihn das mit dem berechen hab ich übersehen^^ |
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08.10.2007, 19:07 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unterstrichen = Link Ich bin dann mal was essen. Bis später |
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08.10.2007, 19:14 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
a ist die zu berechnende wurzel xn kann man als startwert sowiet ich es verstanden habe festlegen mit 1 wenn man das dann austechnet kommt ein ergebnis raus was man dann für xn einsetzt wo die formel herkommt? ka die is doch schon da ^^ bis nachher muss aber auch noch was essen kann also sein das ich erst wieder morgen on bin so um 15 uhr also villeicht bis nachher bb |
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08.10.2007, 19:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mahlzeit. Klar ist die Formel schon bekannt. Dennoch, da Du dich mit dem Verfahren beschäftigen sollst, schadet es nicht, wenn Du versuchst, sie einmal zu begründen. |
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08.10.2007, 19:27 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
da verlangst du wunder ich bin in der 9.^^ |
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08.10.2007, 19:29 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist das unbedingt nötig? |
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08.10.2007, 19:49 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jupp, das ist nötig. Zumal eine geometrische Interpretation angegeben ist (Quadrat) und die hängt mit Teil 2 von Frage 1 zusammen. Um nun in Aufgabe 1 durch stures anwenden der Formel eine Näherung für zu bestimmen, fehlt hier natürlich eine Angabe, wie genau es sein soll. Mit der von dir kopierten Formel drückt man eine Rekursion aus. n ist dabei eine natürliche Zahl mit der wir unsere "Durchläufe zählen". Gestartet wird mit , welches Du als eine beliebige positive reelle Zahl wählen darfst, z.B . Eigentlich sind wir dann auch schon fertig, da ja nicht gesagt wurde (von Dir oder dem Lehrer) wie "gut" die Näherung sein soll Will man es dann doch ein bisschen genauer, benutzt man nun die Formel etc. |
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08.10.2007, 19:53 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich mach schonmal mit weiter nun 3 für a einstetzen und für =1 daraus folgt =2 nun 2 für einsetzen =1,5 das wieder für =1,75 das wieder einsetzen 1,732142857 so ist laut taschenrechner 1,732050808 der berechnet wert ist auf 3 stellen nach dem komma genau. Also ein Näherungswert |
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08.10.2007, 19:55 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also tschau muss essen wir schreiben uns morgen ab 15 uhr^^ |
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08.10.2007, 20:00 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
09.10.2007, 17:25 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
so da bin ich wieder könnten wir uns nu der 2. aufgabe zuwenden? |
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09.10.2007, 19:03 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bis wann muss das ganze denn fertig sein? Ich möchte erst einmal, dass Du dich mit der geometrischen Interpretation auseinandersetzt und vielleicht auch mal ein Bilden malst, wir berechnet wird. Ich bin heute erst wieder gegen 21.00 online. Dann oder / Morgen können wir dann Aufgabe 2 machen. |
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22.10.2007, 13:09 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sry das ich net on war mein rechner war im A**** ^^ das muss nach weihnachenten fertig sein |
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22.10.2007, 14:18 | makko | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nur ein Offtopic-Beitrag: Rein aus Interesse, die Schulform interessiert mich, die in der 9. Klasse das Heron-Verfahren in Excel umsetzt Handelt es sich um einen LK Mathe oder Informatik? |
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22.10.2007, 19:25 | tigerbine | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar. Dann weiß ich bescheid. Du kannst ja nun einmal die Bilder malen. |
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23.10.2007, 17:43 | riesenproblem | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
menno ich brauch zu morgen ne gliederung wie soll ich das aufbauen? |
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