Kurvendiskussion: doppelte Nullstelle als Tiefpunkt |
| 19.04.2005, 12:27 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kurvendiskussion: doppelte Nullstelle als Tiefpunkt und zwar sei gegeben die funktion: wie man sieht hat die funktion zwei doppelte nullstellen und zwar bei N1(0;0) und bei N2(2;0) da das doppelte nullstellen sind gibt es keinen vorzeichenwechsel, d.h der graph "dreht danach wieder ab" richtung positiver y-werte ^^ ist diese durchschlagende erkenntnis nun genug hinreichend um die behauptung diese beiden nullstellen sind auf jedenfall auch (zumindest lokale) minima der funktion, oder muss ich tatsächlich die meiner meinung nach hinfällige beweisführung antreten? mein lehrer hat gemeint ich müsste, allerdings finde ich das überflüssig! was meint ihr dazu ? hohbedere |
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| 19.04.2005, 12:52 | Egal | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Existenz einer doppelten Nullstelle ist meiner Meinung nach äquivalent zur Existenz eines Minimums bzw Maximums. |
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| 19.04.2005, 12:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Kurvendiskussion : doppelte Nullestelle als tiefpunkt Nun ja, dieser mehr optische Beweis an Hand des Funktionsgraphen sollte durchaus mit etwas mehr mathematischer Formalität untermauert werden. Trotzdem würde ich in einer Klausur für den Gedankenansatz einen Teil der Punkte geben. EGAL: Das ist durchaus richtig. Aber gibt es einen Satz, wo das bewiesen ist und auf den man sich berufen kann? |
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| 19.04.2005, 12:55 | 4c1d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Bei ganzrationalen Funktionen bedeutet eine doppelte Nullstelle (bzw. Nullstelle mit geradem Grad) immer ein lokales Extremum (was sich nicht nur veranschaulichen, sondern auch beweisen lässt) |
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| 19.04.2005, 13:11 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das hat auch niemand bezweifelt. Die Frage ist, ob es dazu einen Satz von Hugo, Otto oder sonstwem gibt, wo das bewiesen ist, oder ob man sich auf irgendwelche Schriftstücke berufen kann, wo der Satz auf Seite xyz bewiesen wurde. Wenn nicht, muß man es selbst beweisen, was im übrigen nur wenige Zeilen braucht. |
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| 19.04.2005, 13:21 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
natürlich lässt sich das beweisen, aber weniger arbeit kommt meiner unglaublichen faulheit zugute ^^ @klarsoweit: ich hab noch keinen solchen satz gesehn, hab aber auch nochnicht danach gesucht .. zur mathematischen formalität, die ich mittlerweile gemacht hab: Nullstellen von f'(x): N1 (0;0) N2 (1;0) N3(2;0) => Minimum => Maximum => Minimum so weit der beweis .. meiner meinung anch 5 kostbare minuten die ich mir hätte schenken können 
naja , manchmal gehts halt echt ned anders
hohbedere |
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| 19.04.2005, 13:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Etwas allgemeiner geht es so: Sei a die doppelte Nullstelle vom Polynom f(x). Dann gibt es ein Polynom g(x), das a nicht als Nullstelle hat, so daß gilt: f(x) = (x - a)² * g(x) f'(x) = 2 * (x - a) * g(x) + (x - a)² * g'(x) f''(x) = 2 * g(x) + 4 * (x - a) * g'(x) + (x - a)² * g''(x) f'(a) = 0 ist klar. f''(a) = 2*g(a) <> 0 Jetzt hängt es am Vorzeichen von g(a), welche Art von Extremum vorliegt. |
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| 19.04.2005, 15:51 | 4c1d | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber ist der "intuitive Beweis" von Lazarus über die Funktion selbst (nicht über die 1. und zweite Ableitung) dewegen weniger korrekt oder vollständig? Man könnte ihn z.B. auch durch (für beliebig kleines bei Übernahme der Bezeichnungen aus dem anderen Beweis) ausformulieren. |
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| 19.04.2005, 22:42 | Lazarus | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ja genau des war ja meine frage, ob diese eigentlich offensichtliche tatsache als beweis reicht. und wie schon michael holm sang: graphen lügen nicht ... oder so ähnlich ^^ aber wie gesagt, es is nicht viel umstand die paar zeilen hinzuschmieren ... ps: hab etz mal google durchgeforstet und nix gefunden. savus |
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