Beweise zum Spektralradius

21.11.2007, 16:55	Micky	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise zum Spektralradius Hallo Leute, ich habe drei Beweisaufgaben zum Spektralradius und zu keinem eine Idee. Für $\begin{eqnarray} A=(a_{ij})\in \mathbb R ^{n\times n} \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} p(A) = max \|\lambda _k(A)\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (1\leq k\leq n) \end{eqnarray}$ der Spektralradius von A. Zeigen Sie: a) Es gelte $\begin{eqnarray} \|a_{ij}\|<1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i,j = 1,...,n \end{eqnarray}$ . Dann folgt für die Matrix $\begin{eqnarray} B=\frac{1}{n} A \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} p(B)<1 \end{eqnarray}$ . b) A sei orthogonal Matrix. Dann gilt für die Matrix $\begin{eqnarray} B=\alpha A \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} p(B)<1 \Leftarrow\Rightarrow \|\alpha \|<1 \end{eqnarray}$ . c) A sei symmetrisch, positiv definit. Dann gilt: $\begin{eqnarray} p((A+E)^{-1}(A-E))<1 \end{eqnarray}$ . Hab schon überlegt, ob man über die Normen gehen kann, hab aber keine Ahnung wie. Ich hoffe jemand kann mir helfen
21.11.2007, 21:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Rückfrage Welche Sätze über die Lage der Eigenwerte von Matrizen hattet ihr denn schon? Um einen Begriff zu nennen, z.B. Gerschgorin-Kreise.
22.11.2007, 07:49	Micky	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise zum Spektralradius Also den Satz kenne ich nicht. Wir haben eigentlicxh nur geklärt, was der Spektralradius ist und das gilt: $\begin{eqnarray} p(A)\leq \|\|A\|\| \end{eqnarray}$ . Dann weiß ich noch, dass alle Eigenwerte orthogonaler Matrizen auf dem Einheitskreis liegen und bei symmetrisch, positiv definiten Matrizen reell und aufsteigend sind.
22.11.2007, 08:41	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von dir genannte Abschätzung gilt ja für jede induzierte Matrixnorm. Welche kennst du da und mit der Vorgabe (Abschätzung) der Einträge von A, welche würde sich da anbieten?

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