"Nagelprobe"

21.11.2007, 18:01

Airblader

"Nagelprobe"

Hi,
ich habe heute von einer Aufgabestellung gehört, deren (allgemeine) Lösung mich interessiert.
Es geht um Folgendes:
An einer Wand hängen n Nägel. An diesen will man ein Bild so aufhängen (mit einer Schnur), so dass das Bild hängt und genau dann runterfällt, wenn man einen beliebigen Nagel entfernt.

Man startet dabei mit der Schnur immer an der linken Ecke d. Bildes und endet an der rechten.

So, nun bezeichnen wir die Nägel mal mit a,b,c,... von links nach rechts. Dann soll "a" bedeuten, dass man die Schnur v.l.n.r. über den Nagel a legt, $\begin{eqnarray*} a^{-1} \end{eqnarray*}$ soll bedeuten, dass man die Schnur v.r.n.l. über den Nagel a legt.
"aba" bedeutet also z.b: Schnur über a, über b, dann unter b und a zurück und nochmal von links nach rechts über a.

Für n=1 ist die Lösung trivial: $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

Für n=2 ist die Lösung $\begin{eqnarray*} ab^{-1}a^{-1}b \end{eqnarray*}$ .

Für n=3 ist die Lösung $\begin{eqnarray*} ab^{-1}a^{-1}bcb^{-1}aba^{-1}c^{-1} \end{eqnarray*}$ , wenn ich das grad richtig sehe.

Es gilt allg.: $\begin{eqnarray*} xx^{-1}, x^{-1}x \end{eqnarray*}$ heben sich auf. Entfernt man einen Nagel, dann nimmt man aus der "Lösung" alle Variablen dieses Nagels raus und dann müssen sich, so dass die Lösung stimmt, alle anderen Variablen wegheben.

Entfernt man bei n=2 also z.B. den Nagel a, dann ist: $\begin{eqnarray*} ab^{-1}a^{-1}b \Rightarrow b^{-1}b \end{eqnarray*}$ , und dies hebt sich auf. Analog für Nagel b.

Dieses Problem wurde als "Nagelprobe" tituliert, aber bis auf einen mir nicht weiterhelfenden Beitrag fand ich bei Google leider nichts verwirrt

Kennt da vllt. jmd etwas? Die allgemeine Lösung würde mich interessieren.
Ich vermute, dass man das Ganze symmetrisch weiterführt.
Man nimmt für n=n1 die Lösungskette, haut den neuen Nagelbuchstaben dran, dann nimmt man die "inverse Lösungskette" für n=n1 dazu und am Ende das Inverse des neuen Nagels.
"invers" bedeutet: gespiegelt und jeweils wird x zu x^(-1) bzw. x^(-1) zu x.

Edit:
Dann wäre für n = 4 die Lösung:
Edit: Ups, ich habe das Spiegeln vergessen. Werds nahher reinschreiben, kann grad nicht smile

Edit2: Also, für n=4:

$\begin{eqnarray*} ab^{-1}a^{-1}bcb^{-1}aba^{-1}c^{-1}dcab^{-1}a^{-1}bc^{-1}b^{-1}abd^{-1} \end{eqnarray*}$

Hab mir Karten gebastelt, die diese Lösung bestätigen smile

air

21.11.2007, 21:52

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich versuche meine Vermutung mal argumentativ zu belegen:

Nehmen wir an, wir haben für ein festes n die Lösung.
Nun betrachten wir den Fall (n+1) und sagen einfach mal, der neu hinzugefügte Nagel heißt t.
Dann kann man sagen:

Entfernt man t, so müssen sich alle anderen Variablen aufheben. Das ist eine simplexe Konsequenz aus der gespiegelten Inversen.
Entfernt man einen anderen Nagel, so muss sich die Seite links von t nach Voraussetzung wegheben.
Die rechte Seite von t, bis auf das Inverse von t, hebt sich auch weg, da die rechte Seite ja einfach die linke gespiegelt ist. Damit vertauscht man nur $\begin{eqnarray*} xx^{-1} ~\Leftrightarrow~ x^{-1}x \end{eqnarray*}$ . Dies ist nach Definition aber gleich.
Heben sich linke und rechte Seite weg, so bleiben nur t und das Inverse von t stehen, die sich natürlich auch wegheben.

Damit dürfte also die allgemeine Lösung sein:

Zitat:

Hat man die Lösung L für $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ Nägel, so ist die Lösung für $\begin{eqnarray*} (n_0 +1) \end{eqnarray*}$ Nägel:

$\begin{eqnarray*} LtL't^{-1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei t den neu hinzugefügten Nagel bezeichnet.

$\begin{eqnarray*} L' \end{eqnarray*}$ steht für das Inverse der gesamten Lösung L und wird definiert durch:

$\begin{eqnarray*} L = x_1^{m_1}x_2^{m_2}\ldots x_n^{m_n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow~L' = x_n^{-m_n}x_{n-1}^{-m_{n-1}}\ldots x_1^{-m_1} \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} m_l \end{eqnarray*}$ entweder "1" für den "normalen" Zustand des l-ten Nagels ist, beziehungsweise "-1" für das Inverse des l-ten Nagels.

Naja, vllt. etwas zu kompliziert aufgeschrieben, aber ich muss noch lernen Augenzwinkern

Aber: Kann man den Beweis vllt. etwas "mathematisieren"? Im Grunde ist es so ja kein Bewies... smile

air

22.11.2007, 22:10

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich *pushe* mal ganz vorsichtig, aber nicht nur ...

Zur geschlossenen Darstellung:
Zunächst einmal mag die Lösung rekursiv sein, wird ja aber "direkt" weitergeführt. Also man kann ja die nächste Lösung bekommen, indem man an die erste nur was ranhängt.
Mit einer geschlossenen Darstellung dürfte es eh schwer werden, da sollte man die Nägel auch entsprechend wie in meiner Lösung mit x_n bezeichnen, nicht mit a,b,c,... smile

Zum Beweis: Es riecht natürlich förmlich nach VI, das ist ja klar.
Allerdings verwendet man ja hier nicht die "gewöhnlichen" Kompositionen. Meine Argumentation ist daher im Grunde ja schon der Ind.-schluss, oder verwirrt

air

24.11.2007, 23:28

Airblader

Auf diesen Beitrag antworten »

Ein letztes Mal *pushe* ich, da es mich nach wie vor interessiert.
Ansonsten muss ich es halt leider "abhaken" Augenzwinkern

Wäre schön, wenn sich zumindest jmd die Argumentation anguggen könnte. Klar, es ist kein "richtiger" VI-Beweis, aber der Ind.-Schluss bietet sich ja förmlich an, da L nach Voraussetzung stimmt und L' dann auch Lösung sein muss (was man halt beweisen müsste). Dann heben sich auch t und t^(-1) auf.
Und nimmt man t und t^(-1) weg, so heben sich nach Definition von L' auch L und L' weg.

air

Neue Frage »

Antworten »

"Nagelprobe"

Verwandte Themen