Grenzwert von arithmetisches Mittel

21.11.2007, 18:56

Dieter_Roth

Grenzwert von arithmetisches Mittel

Hallo,
hmm ich hab mal ne Frage wie man eine eigentlich triviale Behauptung beweist:

Sei a_n eine konvertierende Folge mit $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = a \end{eqnarray*}$ .

Dann ist ja das arithemtische Mittel:
$\begin{eqnarray*} m_n = \frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^n~a_k \end{eqnarray*}$

So wenn ich bei $\begin{eqnarray*} m_n \end{eqnarray*}$ dass n gegen unendlich laufen lasse, kommt ja wieder a raus, also $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} m_n = a \end{eqnarray*}$
Diese Aussage halte ich für logisch, das wenn ich den Mittelwert einer konvertierenden Folge bilde, sich dieser immer weiter a annähert, da ich ja im unendlichen unendlich viele Zahlen habe, die sehr dicht an a dran sind, womit der Mittelwert auch wieder dicht an a ist.

Allerdings, wie kann ich soetwas beweisen?

Irgendwie steh ich dort voll auf dem Schlauch wie man soetwas mathematisch beweisen kann.

Vielleicht kann ja jmd. weiterhelfen.

Mit freundlichen Grüßen
Dieter

21.11.2007, 19:08

tmo

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mal einen ansatz, den ich wählen würde:

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ vorgegeben.
es existiert ein $\begin{eqnarray*} m \in N \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n > m \end{eqnarray*}$ .

dann betrache mal deine reihe:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}(a_0 + ... + a_m + ... +a_n) \end{eqnarray*}$

und zerlege sie:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n+1}(a_0 + ... + a_m) + \frac{1}{n+1}(a_{m+1} + ... + a_n) \end{eqnarray*}$

nun kannst du die beiden summanden einzeln betrachten.

hilft dir das weiter?

21.11.2007, 19:22

Tomtomtomtom

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Wo konvertiert die Folge denn hin? Islam oder Christentum?

SCNR

Aber um noch was sinnvolles zu posten, das ist der sogenannte Cesaro'sche verallgemeinerte Grenzwert einer Folge. Er macht genau das, was man von einer Verallgemeinerung erwartet: Für eh schon konvergente Folgen ist er gleich dem ursprünglichen Grenzwert. Aber einigen ursprünglich nicht konvergenten Folgen kann eben so auch noch ein Grenzwert zugeordnet werden, und zwar so vernünftig, daß viele Operationen, die man mit Grenzwerten durchführen kann, weiterhin gelten. (Wobei man zugeben muß, daß die Methode eigentlich eher für Reihen, also für Folgen von Partialsummen, verwendet wird. Da gibts dann auch wirklich interessante Anwendungen)

21.11.2007, 22:03

Dieter_Roth

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Hi,
danke tmo, leider hilft das noch nicht wirklich weiter traurig

Allerdings ich hab mal etwas nach 'Cesaro Limes' gegoogelt und folgendes gefunden: Klick

Dort scheint ja die 2. Frage relativ identisch mit meiner zu sein.

Die Argumentation von Christian finde ich verständlich, nur bei der letzten Passage komm ich nicht hinterher:

Zitat:

Also ist auch $\begin{eqnarray*} t_n \end{eqnarray*}$ beschränkt, vor allem aber gibt es ein N aus den natürlichen Zahlen mit $\begin{eqnarray*} \sum_{1}^n~b_n < n \end{eqnarray*}$ für alle n>N (folgt aus der Konvergenz von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ gegen 0).
Damit folgt jedoch direkt, daß $\begin{eqnarray*} t_n \to 0 \end{eqnarray*}$
Und das ist ja das, was wir zeigen wollten.

Also dass t_n beschränkt ist, ist soweit noch klar. Da |b_i| < n ist, ist ja auch die Summe darüber geteilt durch n kleiner als n.

Wie man aber auf das danach kommt, versteh ich leider nicht mehr.

Also, b_n konvergiert ja gegen 0, d.h. $\begin{eqnarray*} \sum_{1}^n~b_n = nb_n < n*1 \end{eqnarray*}$ (hoffentlich hab ich das Summenzeichen richtig interpretiert)
Da ja b_n ab einer gewissen Größe von n kleiner 1 wird, gilt dieses ja.

So, nun versteh ich aber nicht, wie ich von b_n < n darauf schließen kann, dass t_n gegen 0 konvertiert.

Wäre nett wenn mir jmd. das etwas näher erläutern könnte (sofern der Beweis überhaupt bei mir weiterhilft).

Grüße

21.11.2007, 22:52

Tomtomtomtom

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Ich hab mir den Link nicht angeschaut, aber die Idee von tmo ist shcon die richtige. Du willst zeigen, daß

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} \left|m_n-a\right|=0 \end{eqnarray*}$ .

Sei epsilon beliebig vorgegeben. Dann existiert wegen der Konvergenz von a_n ein m, so daß |a_n-a|<epsilon für n>m. Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty} \left|m_n-a\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n a_k -a\right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\sum_{k=0}^n (a_k -a)}{n+1} \right|=\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\sum_{k=0}^m (a_k -a)}{n+1}+\frac{\sum_{k=m+1}^n (a_k -a)}{n+1} \right|\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{\sum_{k=0}^m (a_k -a)}{n+1}\right|+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sum_{k=m+1}^n \left|a_k -a\right|}{n+1} \end{eqnarray*}$

...und den Rest schaffst du jetzt denk ich alleine.

22.11.2007, 01:18

WebFritzi

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Zitat:

Original von Dieter_Roth
danke tmo, leider hilft das noch nicht wirklich weiter traurig

Das sollte es aber. Und zwar insofern, dass du wissen solltest, dass eine Folge nicht konvertiert, sonden konvergiert...

@Tom...tom: Den Limes hättest du dir auch bei jedem Ausdruck sparen können. Dann wäre der Thread evtl. auch nicht überbreit. Augenzwinkern

22.11.2007, 09:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von Dieter_Roth
Allerdings ich hab mal etwas nach 'Cesaro Limes' gegoogelt und folgendes gefunden: Klick

Der dort dargestellte Beweis ist in meinen Augen unsauber, zumindest lückenhaft, vielleicht sogar falsch.

Ich fasse die bislang dargestellten Ansätze nochmal zusammen:

Wir müssen zeigen, daß es zu jedem beliebigen epsilon > 0 ein N gibt, so daß für alle n > N $\begin{eqnarray*} |m_n - a| < \epsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt. Dann gibt es wegen der Konvergenz von a_n ein M, so daß $\begin{eqnarray*} |a_n-a|<\frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ für alle n > M.

Desweiteren gilt:

$\begin{eqnarray*} |m_n - a| = \left| \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n~a_k - a \right| = \left| \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n~(a_k - a) \right| = \left| \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^M~(a_k - a) + \frac{1}{n+1}\sum_{k=M+1}^n~(a_k - a) \right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq \left| \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^M~(a_k - a) \right| + \left| \frac{1}{n+1}\sum_{k=M+1}^n~(a_k - a) \right| \end{eqnarray*}$

Die 2. Summe kann man nun nach oben durch $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ abschätzen. Bei der 1. Summe gibt es ein G, so daß deren Wert ebenfalls kleiner $\begin{eqnarray*} \frac{\varepsilon}{2} \end{eqnarray*}$ ist für alle n > G. Mit N = max(G; M) ist die Existenz eines Wertes N nachgewiesen.

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