Jordan'sche Normalform

19.04.2005, 15:14	Kola	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan'sche Normalform Huhu, also irgendwie komme ich mit dieser Jordan'sche Normalform nicht klar. Wie genau kann ich sie bestimmen? Ich soll ein Beispiel für eine invertierbare Matrix P geben mit $\begin{eqnarray} PAP^{-1}=N((n)) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Also ist n = 6. Kann ich mir N((6)) jetzt aussuchen, oder gibt es eine bestimmte Regel? Außerdem soll ich zeigen, wie die Jordan'sche Normalform eines Endomorphismus $\begin{eqnarray} f: V ---> V \end{eqnarray}$ aussieht, für den gilt Kern(f)=Bild(f). Ich bin wirklich für jede Hilfe dankbar!!!
19.04.2005, 18:32	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Zum zweiten Teil: Überlege, welche Eigenwerte diese Abbildung haben kann. Da der Kern positive Dimension hat (bei Vektorräumen mit positiver Dimension), muss es Eigenvektoren zum Eigenwert 0 geben. Können auch andere Eigenwerte auftreten? Dann untersuche, wie groß das Jordan-Kästchen zu jedem dieser Egenvektoren sein kann.
20.04.2005, 17:26	Kola	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist zwar klar, was Kern (f) = Bild (f) bedeutet, aber wie bestimme ich den Kern und das Bild des Endomorphismus? Ist es nicht so, das Kern f die Vektoren sind, die ein homogenes gleichungssystem mit dem Endomorphismus erfüllen und Bild (f), die linear unabhängigen Vektoren des endomorphismus sind??? Wie kommt man auf die Eigenerte????????? Da kann ich irgendwie nicht folgen Danke
20.04.2005, 17:32	Kola	Auf diesen Beitrag antworten »
Und bei der Matrix, wo ich das invertierbare P finden soll habe ich das Problem, dass ich nicht genau weiß was N (6) überhaupt ist. Ist das eine Jordan´sche 6x6-Matrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen und darüber einsen??? Nochmal danke
25.04.2005, 19:18	martins1	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Kern einer Linearen Abbildung besteht aus allen Vektoren, die durch die Abbildung auf den Nullvektor abgebildet werden. Das Bild einer linearen Abbildung sind alle Vektoren, die eben als Bild von f auftreten $\begin{eqnarray} im \ f=\{x \in V \mid \exists y \in V: f(y)=x\} \end{eqnarray}$ Es geht nicht darum den Kern und das Bild explizit zu berechnen, das ist auch bei einer unbekannten Abbildung gar nicht möglich. Sei $\begin{eqnarray} \lambda \neq 0 \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ ein dazugehöriger Eigenvektor. Dann ist $\begin{eqnarray} f(\frac{1}{\lambda}v)=v \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} v \in im \ f \end{eqnarray}$ , aber zugleich $\begin{eqnarray} f(v)=\lambda v \neq 0 \end{eqnarray}$ , woraus $\begin{eqnarray} v \not\in kern \ f \end{eqnarray}$ folgt, was aber ein Widerspruch zur Annahme ist. Also muss 0 der einzige Eigenwert sein.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »