Nilpotenz

19.04.2005, 15:30	Bunny	Auf diesen Beitrag antworten »
Nilpotenz Hallo! Also, für nilpotente Matrizen gilt doch: $\begin{eqnarray} A^t=0 \end{eqnarray}$ ?! Wenn ich jetzt zeigen soll, dass wenn $\begin{eqnarray} A,B \in (n x n)-Matrix \end{eqnarray}$ nilpotent und es AB=BA gilt, dann ist auch A + B nilpotent, dann soll doch gelten $\begin{eqnarray} A^t=0 und B^s=0 \end{eqnarray}$ , oder? Aber ich weiß nicht wie ich weiter machen kann, hat da vielleicht jemand ein Tipp für mich? Ich soll auch ein Beispiel dafür geben, dass die Umkehrung nicht gilt. (Also wenn, $\begin{eqnarray} AB \neq BA \end{eqnarray}$ gilt, ist A + B nilpotent.) Aber es gibt doch auch Matrizen mit $\begin{eqnarray} AB \neq BA \end{eqnarray}$ , so dass gilt A + B ist nicht nilpotent, oder? Gibt es da auch nen einfaches Beispiel zu? Vielen Dank!
19.04.2005, 17:32	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
als tipp mal: wenn A nilpotent und B auch, dann ist insbesondere auch AB nilpotent forme doch (A+B)(A+B) mal etwas um.....
20.04.2005, 20:40	aiwa	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe mir überlegt, das $\begin{eqnarray} A^n \end{eqnarray}$ =0 ist und das $\begin{eqnarray} B^m \end{eqnarray}$ =0 ist. Dann kann man (A+B) nilpotent doch mit dem binomischen Lehrsatz zeigen. Ich hab mir gedacht ich setzte x=m+n Dann soll $\begin{eqnarray} (A+B)^x \end{eqnarray}$ =0 sein. Dann erhällt man ja: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} a^{x-k} b^k \end{eqnarray}$ reicht es dann zu sagen, dass für ein bestimmtes k und x entweder a oder b gleich null werden.
20.04.2005, 20:42	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
A, B sind matrizen ich glaube, du machst es dir etwas zu einfach, indem du einfach skalare (=reelle zahlen) nimmst.... mfg jochen

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