lineare Gleichungssysteme - Durchschnitt der Lösungsräume

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mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
lineare Gleichungssysteme - Durchschnitt der Lösungsräume
Hallo,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter, bzw. weis gar nicht, wo ich ansetzen soll.

Ist der Durchschnitt der Lösungsräume zweier homogener linearer Gleichungssysteme bzw. , wobei für die gleichen Unbekannten Lösungsraum des homogenen Systems ? Und ihre Summe ? Begründe Deine Antwort.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare Gleichungssysteme - Durchschnitt der Lösungsräume
Was heißt denn, dass ein Vektor x Lösung des LGS Ax=0 ist? Er liegt im Kern der Linearen Abbildung. Ansetzten tut man mit dem was gegeben ist, hier gilt also für ein x:




Löst dieses x dann auch




Was für Eigenschaften besitzen denn Lineare Abbildungen?
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: lineare Gleichungssysteme - Durchschnitt der Lösungsräume
Zitat:
Original von tigerbine
Was heißt denn, dass ein Vektor x Lösung des LGS Ax=0 ist? Er liegt im Kern der Linearen Abbildung.


was ist der kern einer linearen abbildung?
ich habe das zwar in einem buch gefunden, verstehe es aber nicht.
wir hatten das auch in der vorlesung noch nicht.
lineare abbildungen kommen bei uns erst noch, momentan sind wir bei linearen gleichungssystemen.
die aufgabe muss also auch damit zu lösen sein, etwas anderes dürfen wir nämlich gar nicht verwenden, selbst wenn wir es schon kennen würden.

Zitat:
Original von tigerbine
Ansetzten tut man mit dem was gegeben ist, hier gilt also für ein x:




Löst dieses x dann auch



Wenn das eine Frage sein sollte, dann bin ich mir nicht ganz sicher. Darf ich die beiden Gleichungssysteme addieren? Dann würde ja Ax + Bx = 0 dastehen, was ja das gleiche ist wie (A+B)x = 0.
Andererseits könnte ich mir vorstellen, die beiden GLS gleichzusetzen, d.h. Ax = 0 = Bx. Damit wäre aber Ax - Bx = 0, also (A-B)x = 0.
Was ist denn nun richtig? Macht das überhaupt einen Unterschied?

Zitat:
Original von tigerbine
Was für Eigenschaften besitzen denn Lineare Abbildungen?


Ich habe in unserem Skript dazu etwas gefunden, das wir aber noch nicht gemacht haben und wie gesagt deshalb auch nicht verwenden dürfen.
Meintest du Additivität und Homogenität?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wirst du nicht drum rum kommen, die Matrixschreibweise einmal im Detail zu betrachten. Mit den Rechenregeln des Skalarkörpers (hier vermutlich IR), ergibt sich dann ob gilt oder nicht:

mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du damit das hier?

Ax = 0 entspricht


Bx = 0 enspricht


-->
(A+B)x = 0 entspricht
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formulieren "entspricht" ist da aber nicht richtig. Denn wo ist die Rechte Seite geblieben? Und die x? Da steht nur die Matrix. Wir schreiben Matrizen mit Runden klammern, um sie nicht mit Determinanten zu verwechseln.

Ich wollte das LGS in Zeilen formuliert sehen.
 
 
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

neuer versuch:











tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

richtig.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

und was nun?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Na, schreib halt mal aus, was (A+B)x ist und ob man es zu Ax+Bx umformen kann.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »





















































tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Freude
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

aber was habe ich jetzt davon?

ich verstehe leider immer noch nicht, was ich in der aufgabe eigentlich machen soll. unglücklich
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

  1. Ist der Durchschnitt der Lösungsräume zweier homogener linearer Gleichungssysteme bzw. , wobei für die gleichen Unbekannten Lösungsraum des homogenen Systems ?

  2. Und ihre Summe ?

Begründe Deine Antwort.



Mit diesem Wissen ergibt sich doch a) :



D.h. es gilt:

mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

klar, jetzt habe ich die aufgabe (a) verstanden!!! Augenzwinkern
danke!

nur nochmal zur kontrolle:
ich schreibe als lösung jetzt folgendes hin:



jetzt den kompletten inhalt meines vorherigen posts sozusagen als nebenrechnung, also
Ax=0 <-> ...
Bx=0 <-> ...
Ax+Bx <-> ... <-> (A+B)x

dann weiter



d.h. es gilt




damit ist der aufgabenteil a gelöst, oder? kann ich das so aufschreiben?

aber b ist doch irgendwie auch schon indirekt beantwortet, oder was muss ich da noch hinschreiben?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Lernkontrolle
Warum habe ich denn nicht nur Äquivalenzpfeile genommen und am Ende nicht dastehen

mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

muss ich da noch irgendeine rückrichtung zeigen??
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Gilt denn diese Gleicheit überhaupt?
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

weiß nicht?!
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

gilt die etwa nicht und die rechnung reicht so??

dann muss ich aber doch bestimmt zeigen, dass die rückrichtung nicht gilt, oder?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Dann denkst Du jetzt mal drüber nach. Augenzwinkern Entweder du zeigst, dass auch die Rückrichtung gilt oder widerlegst dies. Stichwort Gegenbeispiel.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

also ich wäre ja dafür, ein gegenbeispiel zu finden, was ich auch schon eine ganze weile jetzt versuche.
bei homogenen lgs gilt doch, dass es entweder unendlich viele lösungen hat oder nur die triviale lösung?
wenn ich jetzt zwei lgs mit trivialer lösung addiere, erhalte ich doch wieder die triviale lösung. entsprechend ist es doch auch, wenn ich ein lgs mit trivialer lösung und eines mit unendlich vielen lösungen (in abhängigkeit von bestimmten koeffizienten) addiere. dann kommen doch auch wieder die gleichen unendlich vielen lösungen heraus.
also bleibt mir als gegenbeispiel doch nur, zwei lgs mit verschiedenen unendlich vielen lösungen zu addieren.
oder denke ich hier zu kompliziert?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du denkst viel zu kompliziert.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

????? verwirrt
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch nur ein Beipsiel finden, in dem gilt:

, aber eben nicht gleichzeitig

Das kann ganz konkret angegeben werden, ist ja ein Beispiel. Motivierende Skizze.

mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »



gilt z.B. für

und ,

denn

Aber: gilt für

und gilt für


... und damit wäre es wieder kein gegenbeispiel. traurig
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen und Augen auf. Du willst mich nicht verstehen, oder? Ich habe die "einfachsten" Lineare Abbildungen gewählt, die mir eingefallen sind. Die kann man sogar noch plotten.



Dann ergibt sich



nun gilt aber für alle




Damit ist die Richtung verbaut und die Wahl von war richtig.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

ja aber A und B sollen doch Matrizen sein?!

sind 1 und -1 Matizen im R^1? stimmt, müssten sie ja eigentlich sein.
aber reicht das als beispiel?

naja, ok. überzeugt. DANKE!!! Wink

Nur nochmal zur abschließenden Kontrolle:

Ich schreibe als Lösung der kompletten aufgabe jetzt folgendes hin:
(das, was ich bereits aufgeschrieben hatte)




jetzt den kompletten inhalt meines vorherigen posts sozusagen als nebenrechnung, also
Ax=0 <-> ...
Bx=0 <-> ...
Ax+Bx <-> ... <-> (A+B)x

dann weiter



d.h. es gilt



und dann so weiter:

die Rückrichtung gilt nicht.
Gegenbeispiel:


Dann ergibt sich



nun gilt aber für alle




Damit ist die Summe nicht .






ist das so jetzt in ordnung?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
  1. Ist der Durchschnitt der Lösungsräume zweier homogener linearer Gleichungssysteme bzw. , wobei für die gleichen Unbekannten Lösungsraum des homogenen Systems ?

  2. Und ihre Summe ?

Begründe Deine Antwort.


So, a haben wir nun, wobei Du rückfragen solltest was der Aufgabensteller unter Lösungsraum versteht. Die Lösungsräume von Ax=0 und Bx=0 liegen im Lösungsraum von (A+B)x=0, sind aber i.a. nicht gleich diesem Lösungsraum.

Wie sieht es nun bei b) aus?
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

b würde ich mit ja beantworten, kann dies aber nicht so ganz schriftlich begründen...
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Lieber Mathestudi,

so wird das aber nichts. Denn Vermutung ohne Begründungen haben eine sehr kurze Halbwertszeit. Augenzwinkern Was bedeutet denn das "+" eigentlich? Kontruiere doch einmal ein einfaches Beispiel und überprüfe deine Vermutung. Vielleicht fällt es Dir dann leichter, allgemein zu argumentieren.
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

+:

die addition der lösungsmengen???

keine ahnung, ich verstehe doch schon die aufgabe nicht wirklich, wie soll ich sie denn dann lösen?? traurig

so langsam weiß ich nicht mehr, was ich noch machen soll..... Erstaunt1
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Das "+" heißt, das wir Vektoren aus den Lösungsräumen "addieren" dürfen. Du solltest dein Sktript mal nach "Summe von Untervektorräumen" befragen oder die Boardsuche oder Wikipedia. Dann geht's weiter Wink
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

da steht nur, dass der durchschnitt von UVR wieder ein UVR ist.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte aber nicht nach dem Druchschnitt gefragt Augenzwinkern
mathestudi Auf diesen Beitrag antworten »

schon klar, aber ich finde nichts zur summe von UVR.
kann man die überhaupt bilden?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also google findet da sehr viel Big Laugh
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