Flächeninhalt

19.04.2005, 15:57	Freddy	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächeninhalt HALLO, ich soll einen Flächeninhalt berechnen und hab keine Ahnung wie ich anfangen soll. Klar, wahrscheinlich muss ich integrieren, aber wie???? Hier erstmal die Aufgabe: a>0, Berechnen des Flächeninhaltes der Astroide { $\begin{eqnarray} {(x,y) \in \mathbb R ^ 2: \mid x \mid ^ {\frac{2}{3}} + \mid y \mid ^ {\frac{2}{3}} \leq a^\frac{2}{3}} \end{eqnarray}$ } Könnte mir jemand einen Tip geben, was genau ich machen muss? DANKE
19.04.2005, 17:04	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} (x,y) \end{eqnarray}$ ein Punkt, der die Ungleichung erfüllt, so erfüllen wegen der Betragsstriche auch die Punkte $\begin{eqnarray} (\pm x,\pm y) \end{eqnarray}$ mit irgendeiner Vorzeichenkombination die Ungleichung. Die Fläche ist daher symmetrisch sowohl bezüglich der $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ - als auch bezüglich der $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ -Achse. Es genügt daher, den Teil im ersten Quadranten zu berechnen (sprich: die Betragsstriche zu vergessen) und zu vervierfachen: $\begin{eqnarray} F = 4 \cdot \int_0^a~\left( a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}~\mathrm{d}x \end{eqnarray}$ Zur Berechnung des Integrals substituiere $\begin{eqnarray} x = a \cdot \sin^3{t} \end{eqnarray}$ . siehe auch hier

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