Unsicherheit bei Krankheit

22.11.2007, 01:06

Bohny

Unsicherheit bei Krankheit

Ahoi. Es handelt sich hier um folgendes

Bei einem Test auf Tuberkulose weiß man, dass dieser Test in 94 von 100 Fällen negativ ausfällt, wenn die Testperson nicht an Tuberkulose erkrankt ist und in 96 / 100 Fällen positiv ausfällt, wenn die Testperson tatsächlich erkrankt ist.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit tritt ein positives Testergebnis bei einer gesunden Person auf?
b)Wiie groß ist die W. dass eine Person nicht an Tuberkulose leidet, falls das Testergebnis positiv ist?

Wir machen Stochastik jetzt schon ein viertel Jahr und sind also schon relativ weit. Irgendwie fühle ich mich bei der Aufgabe aber verarscht. Weil ich sofort sage, die Wahrscheinlichkeit dafür ist 4/100.
a) Es gilt doch, wenn der Test positiv ist und die Person Tuberkulose hat: 96/100
Wenn der Test positiv ist und die Person keine Tuberkulose hat ist in 4/100 Fällen so.
b) Da würde ich auch 4/100 sagen. Also irgendwie sehe ich gar keinen Unterschied zwischen Aufgabe a und Aufgabe b.

Ein Ergebnis von meinen zwei genannten ist vermutlich richtig, aber könnt ihr mir sagen, welches? Und wo beim anderen der Fehler liegt?

22.11.2007, 08:45

Egon

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RE: Unsicherheit bei Krankheit
Also, wenn wir das mal sortieren:

K: Person ist krank
P: Test ist positiv

$\begin{eqnarray*} P(\overline{P}|\overline{K}) = 0.94 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(P|K) = 0.96 \end{eqnarray*}$

Gesucht sind: (a) $\begin{eqnarray*} P(P|\overline{K}) \end{eqnarray*}$ und (b) $\begin{eqnarray*} P(\overline{K}|P) \end{eqnarray*}$

Aus der Formulierung der Aufgabe schliesse ich:

$\begin{eqnarray*} P(\overline{P}|K)=0.04 \end{eqnarray*}$ (falsch-negativ)
$\begin{eqnarray*} P(P|\overline{K})=0.06 \end{eqnarray*}$ (falsch-positiv)

(Denn: 96 von 100 Erkrankten werden erkannt, also 4 sind falsch-negativ bzw. 94 von 100 Gesunden werden erkannt, also sind 6 falsch-positiv.)

Um $\begin{eqnarray*} P(\overline{K}|P) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, müsste man jetzt noch die Prävalenz P(K) kennen, also das Risiko, die Krankheit überhaupt zu erwischen. Dann könnte man mit dem Satz von Bayes arbeiten.

22.11.2007, 09:16

Bohny

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RE: Unsicherheit bei Krankheit
Hallo Egon. Danke dir erst einmal ganz dolle, mit den Bezeichnungen habe ich es nämlich nicht so.

Zitat:

Original von Egon
Um $\begin{eqnarray*} P(\overline{K}|P) \end{eqnarray*}$ zu berechnen, müsste man jetzt noch die Prävalenz P(K) kennen, also das Risiko, die Krankheit überhaupt zu erwischen. Dann könnte man mit dem Satz von Bayes arbeiten.

Darüber habe ich gerade erst einmal eine halbe Stunde nachgedacht, wie man wohl an P(K) kommt. Ich habe euch aber eine Information verschwiegen:

Im Durchschnitt haben von 100 000 Bürgern tatsächlich zehn Personen tatsächlich Tuberkulose.

Ich dachte, das wäre eine Randiinformation, die nur verwirren soll.
Also ist $\begin{eqnarray*} P(K) = \frac{10}{100.000} \end{eqnarray*}$ ?

22.11.2007, 09:26

Egon

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RE: Unsicherheit bei Krankheit
Diese Information ist seeeehr wichtig.

Nun haben wir alles, was wir brauchen:

$\begin{eqnarray*} P(P|\overline{K})=0.06 \end{eqnarray*}$ (falsch-positiv)
$\begin{eqnarray*} P(\overline{K})=0.9999 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} P(K)=0.0001 \end{eqnarray*}$

Der Satz von Bayes ermöglicht es, von P(A|B) auf P(B|A) zu kommen; auf dein Beispiel angewendet:

$\begin{eqnarray*} P(\overline{K}|P)=\frac{P(P|\overline{K})\cdot P(\overline{K})}{P(P|\overline{K})\cdot P(\overline{K})+P(P|K)\cdot P(K)} \end{eqnarray*}$

---

Der Bruch kommt übrigens daher:

$\begin{eqnarray*} P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} = \frac{P(B\cap A)}{P(A)} \end{eqnarray*}$

Daraus ergibt sich, dass P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) ist, somit gilt:

$\begin{eqnarray*} P(B|A)=\frac{P(A|B)\cdot P(B)}{P(A)} \end{eqnarray*}$

Und weil wir P(A) nicht kennen, bedienen wir uns eines Tricks:

$\begin{eqnarray*} P(A)=P(A|B)\cdot P(B) + P(A|\overline{B})\cdot P(\overline{B}) \end{eqnarray*}$

(= $\begin{eqnarray*} A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) \end{eqnarray*}$ -- das kannst du mit einem Venn-Diagramm leicht prüfen.)

22.11.2007, 09:33

Bohny

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Prima
Lieben Dank für die geilen Erklärungen. Jetzt habe ich es verstanden
Danke Freude

Bohny

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