Ableitung von e hoch x

22.11.2007, 07:01

thebasteljahn

Ableitung von e hoch x

Moin - ich habe lange nichts mehr gepostet:

Meine Frage:

Warum ist die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

?

22.11.2007, 07:22

Mr.Floppy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung von e hoch x
Weil das halt eine der lustigen Eigenarten der e-Funktion ist: die Steigung der e-Funktion ist die e-funktion selbst! Daher ist auch die Ableitung der e-Funktion die e-Funktion selbst.

Aber natürlich gilt immernoch "innere Ableitung mal äußerer Ableitung"

Wenn man also $\begin{eqnarray*} e^{2x} \end{eqnarray*}$ ableiten wollen würde, wäre das Ergebnis $\begin{eqnarray*} 2e^{2x} \end{eqnarray*}$ .

22.11.2007, 08:15

DarthVader

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Weil das halt eine der lustigen Eigenarten der e-Funktion ist

was ist den das bitte für eine aussage; da wird doch in keinster weise die frage mit beantwortet.

@thebasteljahn:

wenn du dich mit der differentation auskennen würdest könntest du dir das auch selbst beantworten;

zunächst brauchen wir den differentialquotienten:

$\begin{eqnarray*} f'(x_{0})=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

anschließend wendest du dies einfach auf die exponentialfunktion an, also

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$

durch einsetzen erhälst du dann den grenzwert und somit die erste ableitung der exponentialfunktion:

$\begin{eqnarray*} (e^x)'= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{x+\Delta x}-e^x}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^x)'=e^x \lim_{\Delta x \to 0} \frac{e^{\Delta x}-1}{\Delta x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (e^x)'=e^x \end{eqnarray*}$

22.11.2007, 09:43

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

@DV
Und dass der Limes des Bruches 1 ist, das setzt du einfach voraus?

mY+

22.11.2007, 09:59

DarthVader

Auf diesen Beitrag antworten »

moin,

nö das setz ich nicht voraus, das ergibt sich doch...der grenzwert dieses bruchs ist nunmal 1.

oder sollte ich was übersehen haben verwirrt

22.11.2007, 12:32

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{1 - 1}{0} \to \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$

mY+

22.11.2007, 12:41

vektorraum

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Ableitung von e hoch x

Zitat:

Original von thebasteljahn
Warum ist die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

?

Zur Vertiefung: Wenn du dich damit ein bisschen auskennst oder mal beschäftigt hast, will ich dir das noch auf folgende Art und Weise begründen.

Die Funktion $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ kann in eine Potenzreihe geschrieben werden:

$\begin{eqnarray*} e^x=\sum_{k=0}^{\infty}\cfrac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$

Wenn du das ableitest, kommst du wieder auf die gleiche Potenzreihenentwicklung.

22.11.2007, 13:04

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Und DAMIT (mittels der binomischen Entwicklung in eine Potenzreihe) kann man auch den Grenzwert des Bruches errechnen, welcher tatsächlich 1 ist (aber dies darf man eben nicht von Vornherein voraussetzen)!

mY+

22.11.2007, 14:29

Aradhir

Auf diesen Beitrag antworten »

Man könnte das ganze auch einfach implizit ableiten oder?

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$

beidseitig logarithmieren

$\begin{eqnarray*} ln [f(x)] = ln(e^x) = x \end{eqnarray*}$

dann ableiten

$\begin{eqnarray*} \cfrac{f'(x)}{f(x)} = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x) = f(x) = e^x \end{eqnarray*}$

22.11.2007, 14:58

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre zweifellos eine elegante Methode. Das setzt allerdings die Ableitungsregel für den LN voraus, und da kommt wieder die e-Funktion ins Spiel, welche man eigentlich nachweisen sollte.

mY+

22.11.2007, 15:05

pseudo-nym

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht umbedingt, den Differenzqoutineten der Logarithmusfunktion kann man, so glaube ich mich zu erinnern, mit ein paar geschickten Umformungen bilden ohne Gebrauch von e-Funktionen zu machen.
Ich kenn den Weg nicht auswendig, werd ihn heute Abend mal raussuchen.

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung von e hoch x

Verwandte Themen