Borelmengenfolge konstruieren

22.11.2007, 10:02

Borel

Borelmengenfolge konstruieren

Morgen,

ich soll eine Folge aus Borelmengen konstruieren, für die folgendes gilt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (i) &\mu(B_n) &= + \infty \forall_{n \in \mathbb{N}}\\(ii) &B_1 &\supset B_2 \supset ...\\(iii) &\bigcap_{\mathbb{N}} B_n &= \emptyset \end{eqnarray*}$

(Weiß nicht, ob $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ überall gleich definiert ist, bei uns ist $\begin{eqnarray*} \mu_0((a;b]) = \prod_{i=1}^n \max \{b_i - a_i, 0\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ die eindeutige Forsetzung auf der $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra der Borelmengen.)

Das Problem ist (ii) und (iii). Wie macht man das denn. Wenn ich Intervalle bis $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ betrachte, ist zwar (i) und (ii) erfüllt, aber nicht (iii). Wenn ich $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ nicht im Intervall habe ist (i) nicht erfüllt, wenn ich z.B. mit Mengendifferenzen arbeite ist (ii) nicht erfüllt.

Kann mir jemand helfen?

22.11.2007, 10:15

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Es geht hier um Borelsche Mengen reeller Zahlen. $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ selbst ist keine reelle Zahl. Die Schreibweise des halboffenen Intervalls $\begin{eqnarray*} [a,+\infty) \end{eqnarray*}$ etwa bedeutet, dass dieses Intervall alle reellen Zahlen größer oder gleich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ enthält, aber der Wert (?!) $\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ selbst gehört da nicht dazu!

22.11.2007, 10:33

Borel

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Oh, das habe ich nicht beachtet. Aber dann könnte man ja (um bei den links halboffenen Intervallen aus unserer Def. zu bleiben) Intervalle $\begin{eqnarray*} B_i = \left(-\infty; \frac{1}{i} \right] \end{eqnarray*}$ betrachten die aber auch (iii) nicht erfüllen.

$\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ muß ja in jedem $\begin{eqnarray*} B_n \end{eqnarray*}$ vorkommen wenn (i) erfüllt sein soll, oder sehe ich das falsch?

22.11.2007, 10:40

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Ja, das siehst du falsch. (i) bedeutet nur, dass die Länge des Intervalls unendlich ist. Das heißt noch lange nicht, dass "Unendlich" als Wert dabei sein muss. Ich wiederhole nochmal:

$\begin{eqnarray*} +\infty \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ sind keine reellen Zahlen!!!

22.11.2007, 10:57

Borel

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Ich glaube, da verstehe ich etwas grundsätzliches nicht. Könntest du mal ein Beispiel für ein Intervall mit Borel-Maß unendlich geben und sagen, warum das so ist?

22.11.2007, 11:04

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Ich denke, du wirfst den Wertebereich $\begin{eqnarray*} [0,\infty] \end{eqnarray*}$ des Maßes mit der Grundmenge $\begin{eqnarray*} \Omega=\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ des zugrunde liegenden Maßraumes $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathfrak{B},\mu) \end{eqnarray*}$ durcheinander - das sind doch von der Bedeutung her völlig unterschiedliche Mengen! Warum du das tust, kann ich allerdings nicht sagen. unglücklich

Beispiel: Für $\begin{eqnarray*} B_n=[n,\infty) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \mu(B_n)=\infty \end{eqnarray*}$ .

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