lokales und globales Maximum

22.11.2007, 13:32

Sandmann01

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lokales und globales Maximum

Hi Leute

ich habe Probleme mit einer Teilaufgabe und benötige die Lösung bis morgen und da es hier wohl einige Mathegenies gibt bitte ich um ein paar Tipps um mit der Aufgabe klar zu komen.

b) Man beweise die Funktion f:[0, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ]

f(x)= $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$ ,

n>0 genau ein lokales und globales Maximum an der Stelle x=n besitzt.

also die erste Ableitung habe ich aber ich weiß nicht was ich damit machen soll weil wenn ich notwendige Bedingung anwende ich nicht weiß wie ich das umrechnen kann.

f´(x)= n $\begin{eqnarray*} x^{n-1} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ *-x $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$

durch Produktregel

kann mir da bitte jemand weiterhelfen

22.11.2007, 14:57

Sandmann01

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kann mir nicht bitte jeman helfen Gott

Gott

22.11.2007, 15:01

vektorraum

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Zitat:

Original von Sandmann01
kann mir nicht bitte jeman helfen Gott

Gott

Bitte nicht drängeln, sonst wird dir keiner antworten.

Schreiben wir mal ordentlich

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^n\cdot e^{-x} \end{eqnarray*}$

Alles im Formeleditor schreiben und dann rüber kopieren, d.h. schau es dir vorher mal an.

Die Idee mit der ersten Ableitung ist okay. Die von dir gebildete Ableitung ist aber falsch.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$ abgeleitet?

Dann nochmal sauber aufschreiben.

Was machst du denn, wenn du das lokale Extremum rausbekommen willst mit der ersten Ableitung?

22.11.2007, 15:21

Sandmann01

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Hallo

also die Ableitung von $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$ müsste

f´(x)=[latex]e^x[latex] richtig?

also nachdem ich das Abgeleited habe müsste ich x berechen aber ich ich weiß nicht wie ich das korrekt umstellen kann damit ich x bestimmen kann und letztenedes in die zweite Ableitung einsetzten kann

22.11.2007, 15:25

vektorraum

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Nein, die Ableitung von $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{-x} \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} g'(x)=-e^{-x} \end{eqnarray*}$

Kannst du erklären warum? Tipp: Kettenregel.

Hinweis wegen der Schreibweise: bitte

code:
1:	e^{-x}

schreiben. Mit geschweiften Klammern also, wenn du mehrere Dinge im Exponenten hast.

Was machst du zuerst mit der ersten Ableitung bevor du wie wild umstellen willst?

22.11.2007, 15:29

Sandmann01

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dann müsste das so aussehen

f´(x)= u´(x) * v(x) + u(x) * v´(x)

u(x)= $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ dann ist u´(x)= $\begin{eqnarray*} n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

v(x)= $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$ dann ist v´(x)= $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

und dann in die Produktregel einsetzten

und wie kann ich jetzt nach x umstellen??

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22.11.2007, 15:30

Sandmann01

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Oh ja stimmt hast recht

das ist ja -e^{-x}

22.11.2007, 15:32

Sandmann01

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Nein erklären kann ich das nicht ganz aber ich weiß das e^x immer bei jeder Ableitung konstant bleibt

22.11.2007, 15:38

vektorraum

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Zitat:

Original von Sandmann01
dann müsste das so aussehen

f´(x)= u´(x) * v(x) + u(x) * v´(x)

u(x)= $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ dann ist u´(x)= $\begin{eqnarray*} n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$

v(x)= $\begin{eqnarray*} e^-x \end{eqnarray*}$ dann ist v´(x)= $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$

und dann in die Produktregel einsetzten

und wie kann ich jetzt nach x umstellen??

Oh nein, v' ist falsch. Die Ableitung erklärt sich durch die Kettenregel, falls dir das was sagt. Nachschlagen!!!

Schreibe deine erste Ableitung bitte jetzt nochmal sauber auf.
Beantworte endlich meine Frage: was machst du, wenn du die erste Ableitung gebildet hast? Sag jetzt nicht nach x umstellen.

22.11.2007, 15:40

Sandmann01

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Ich kann $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ rausklammern
das sehe dann so aus

$\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ * (n* $\begin{eqnarray*} x^{n-1} \end{eqnarray*}$ + (-1* $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ ))

ist das so richtig

22.11.2007, 15:42

Sandman01

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Der hat das mal zeichen falsch gesetzt das kommt unten hin und nicht zum Exponeneten

22.11.2007, 15:47

Sandman01

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OK nochmal

f´(x)= $\begin{eqnarray*} n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} -e^{-x} \end{eqnarray*}$

22.11.2007, 15:48

vektorraum

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Kannst du nicht einfach in der Formelumgebung bleiben? Dann sieht das nicht alles so verschoben aus.

OK. Das ist richtig. Aber du hörst mir nicht zu. Du solltest sagen, was man dann mit der ersten Ableitung macht.

Natürlich Null setzen. Dann bitte nach x umstellen. Also

$\begin{eqnarray*} 0=e^{-x}\cdot(nx^{n-1}-x^n) \end{eqnarray*}$

22.11.2007, 15:48

Sandman01

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Warum macht der mir jedesmal das * Zeichen in den Exponenten hin da will ich es doch ga nicht haben?

22.11.2007, 15:49

Sandman01

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ja ist klar ich muss es nach gleich null setzten für die notwendige bedingung

22.11.2007, 15:51

Sandmann01

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Also ok das haben wir

aber ich weiß nicht ich kann doch jetzt nciht einfach den Ausdruck in der Klammer weg teilen

22.11.2007, 15:55

vektorraum

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Nein, jetzt musst du überlegen, wie du an x rankommst. Das Ausklammern sollte dabei schon nützlich gewesen sein.

22.11.2007, 16:04

Sandmann01

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indem ich den logaritmus ziehe vielleicht?

man schreibt dann das ln in den exponenten stimmts?

22.11.2007, 16:07

vektorraum

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Den Logarithmus zieht man nicht. Außerdem wäre die linke Seite nicht definiert, weil dann stehen würde $\begin{eqnarray*} \ln 0 \end{eqnarray*}$ .

Satz: Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null wird.

22.11.2007, 16:15

Sandmann01

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du forderst mein Gehirn richtig zum nachdenken auf, das ist immerhin besser als abschreiben und nichts kappieren!

nur bin ich gerade so verwirrt dass ich keine Ahnung habe was ichmachen soll

bevor ich ans ausklammern gedach hatte habe ich geacht ich könnte das so machen

$\begin{eqnarray*} n*x^{n-1} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} *e^{-x} \end{eqnarray*}$ = -( $\begin{eqnarray*} x^{n} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} * -e^{-x} \end{eqnarray*}$

aber ob dass so richtig sit frage ich mich jetzt noch

22.11.2007, 16:25

vektorraum

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Na ja klar, wir schonen hier niemanden Big Laugh

Big Laugh

Betrachte mal lieber die ausgeklammerte Gleichung.

Erinnern wir uns an letzten Satz:

Wir wissen außerdem, dass $\begin{eqnarray*} e^{-x} \end{eqnarray*}$ niemals Null wird. D.h. wir dürfen durch diesen Faktor teilen. Dann ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 0=nx^{n-1}-x^n \end{eqnarray*}$

Nun kannst du $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ noch ausklammern und nach ähnlichem Prinzip verfahren wie eben.

22.11.2007, 16:46

Sandmann01

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Ich habe die Lösung jetzt eifach eines der beiden rüber und nach x auflösen ich muss gleich leider noch mit meiner kleinen Schwester lernen

Aber ich danke dir auf jeden Fall für deine hilfe. Ich schreibe die Antwort nachher noch hier rein

ICH DANKE DIR SEHR Mit Zunge

Mit Zunge

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