Volumen maximal werden lassen

22.11.2007, 18:31

niccle

Volumen maximal werden lassen

Der koordinatenursprung sei die Spitze eines Kreiskegels, dessen Grundfläche in der Ebenenschar liegt. Ermitteln Sie den Parameter a für den Fall, dass das Volumen des Kegels bei gleichem Radius maximal ist.

Ebenenschar: ax + (a-2)y + 4z = 22

Ich muss also die Höhe maximal werden lassen. Und das Volumen eines Kreiskegels berechne ich ja mit der Formel: $\begin{eqnarray*} V= \frac{\pi}{3}r^2h \end{eqnarray*}$

Weiß jetzt nur nicht wie ich überhaupt anfangen soll?

22.11.2007, 18:48

riwe

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RE: Volumen maximal werden lassen

Zitat:

Original von niccle
Der koordinatenursprung sei die Spitze eines Kreiskegels, dessen Grundfläche in der Ebenenschar liegt. Ermitteln Sie den Parameter a für den Fall, dass das Volumen des Kegels bei gleichem Radius maximal ist.

Ebenenschar: ax + (a-2)y + 4z = 22

Ich muss also die Höhe maximal werden lassen. Und das Volumen eines Kreiskegels berechne ich ja mit der Formel: $\begin{eqnarray*} V= \frac{\pi}{3}r^2h \end{eqnarray*}$

Weiß jetzt nur nicht wie ich überhaupt anfangen soll?

und dazu mache den "nenner der HNF" mimimal
a= 1

22.11.2007, 18:51

niccle

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wieso mach ich das denn so? Ich versteh deinen Ansatz nicht?

22.11.2007, 19:18

riwe

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die höhe bestimmst du, indem du die spitze in die HNF der ebene einsetzt.
da der zähler konstant ist wegen $\begin{eqnarray*} x=y=z=0 \to Z=\mid -22\mid \end{eqnarray*}$ , bekommst du die maximale höhe für das minimum des nenners
$\begin{eqnarray*} N²(a)=a²+(a-2)²+16 \end{eqnarray*}$

22.11.2007, 21:25

niccle

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Kannst du mir das nicht schritt für schritt erklären. Versteh das nämlich net so ganz. Die Hessische Normalenform ist ja: (x-p)no=0 (also alles als Vektoren)
Und ich muss jetzt für p den Punkt (0/0/0) und für no $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{a^2-2a+10}} \begin{pmatrix} a \\ a-2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen?

22.11.2007, 21:42

riwe

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Zitat:

Original von niccle
Kannst du mir das nicht schritt für schritt erklären. Versteh das nämlich net so ganz. Die Hessische Normalenform ist ja: (x-p)no=0 (also alles als Vektoren)
Und ich muss jetzt für p den Punkt (0/0/0) und für no $\begin{eqnarray*} \frac{1}{ \sqrt{a^2-2a+10}} \begin{pmatrix} a \\ a-2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ einsetzen?

das gebilde, das du da hingemalt hast, ist mir fremd.
und sicher keine gleichung usw.

HNF in vektorform $\begin{eqnarray*} \vec{r}\cdot\vec{n}_0=d \end{eqnarray*}$

in koordinatenform (gebracht)

$\begin{eqnarray*} \frac{ax+by+cz-d}{\sqrt{a²+b²+c²}}=0 \end{eqnarray*}$

wobei a,b und c die komponenten des normalenvektors sind.

wenn du nun den punkt O(0/0/0) in deine ebene einsetzt, hast du

$\begin{eqnarray*} d(a)=\frac{22}{\sqrt{a²+(a-2)²+16}} \end{eqnarray*}$

und da ist halt der zähler konstant, was bedeutet, dass du das minimum des nenners suchen mußt, damit du die größte höhe bekommst.

anmerkung zum "kleingedruckten": das ist nicht die HNF sondern die normalvektorform.
und auch wenn das alles vektoren sind, so heißt das produkt nicht umsonst SKALARprodukt unglücklich

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