Vektorräume

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19.04.2005, 21:18	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorräume Hallo muss eine Musterklausuraufgabe bearbeiten...kann mir da jemand helfen? Welche der folgenden Mengen sind Vektorräume? V1:= ((X1,X2,X3):Xi element aus R(réele Zahlen) und X1+X2+X3=0)) V2:= ((X,X^2,2X):X element aus R)) V3:= ((x,y) : x,y element aus R und 2x-3y=1)) ich hoffe ich versteht die aufgabe was ich da geschrieben habe, denn kann sein dass ich es etwas leichter geschrieben habe..weil ich manche zeichen nicht auf meiner tastatur habe.. Gruß
19.04.2005, 21:31	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
was muss denn für vektorräume gelten? da gibt es einige gesetze nachzuprüfen..... vektorraumaxiome...... du hast hier jeweils eine teilmenge des IR³, der mit der bekannten vektorverknüpfung +, und der skalaren verknüpfung * (beides komponentenweise) ein vektorraum ist. welched er 3 mengen ist ein unterraum von IR³?
19.04.2005, 22:00	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
ich soll hier also die Vektorraumaxiome anwenden nur weiss nicht wie? die axiome sind mir bekannt habe aber kein anhaltspunkt..
19.04.2005, 22:02	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
also: 1) zeige, dass das ein vektorraum ist (indem du zeigst, dass alle axiome gelten) 2) uns 3) wiederlege mit einem axiom, das nicht erfüllt ist, dass es ein vektorraum ist
19.04.2005, 22:36	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
am beispiel für v1: du mußt folgendes zeigen: -abgeschlossenheit bzgl addition -abgeschlossenheit bzgl multiplikation mit einem sklar (hier eine relle zahl) -es gibt ein nullelement bzgl der addition $\begin{eqnarray} (x_{1},x_{2},x_{3}),(y_{1},y_{2},y_{3}) \in V1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \wedge y_{1}+y_{2}+y_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}+y_{1}+y_{2}+y_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow ((x_{1}+y_{1}),(x_{2}+y_{2}),(x_{3}+y_{3})) \in V1 \end{eqnarray}$ damit hast du abgeschlossen heit bzgl der addition gezeigt. $\begin{eqnarray} (x_{1},x_{2},x_{3}) \in V1, r \in \mathbb {R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow r(x_{1}+x_{2}+x_{3})=r0=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow rx_{1}+rx_{2}+rx_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow r(x_{1},x_{2},x_{3}) \in V1 \end{eqnarray}$ damit ist abgeschlossenheit bzgl der multiplikation mit einer rellen gezeigt. $\begin{eqnarray} 0+0+0=0 \Rightarrow (0,0,0) \in V1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x_{1},x_{2},x_{3}) \in V1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{1}+x_{2}+x_{3}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x_{1}+0+x_{2}+0+x_{3}+0=0=x_{1}+x_{2}+x_{3} \end{eqnarray}$ damit ist gezeigt, dass (0,0,0) das nullelement der addition ist!
20.04.2005, 13:18	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
also..habe ich da jetzt raus $\begin{eqnarray} V_3 \end{eqnarray}$ := {(x,y $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ und 2x-3y=1} ist kein Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb R² \end{eqnarray}$ , denn (2,-1) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V_3 \end{eqnarray}$ ,aber 2 (2,-1)=(4,-2) also somit beweisen dass es nicht geht..nicht wahr...
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20.04.2005, 17:40	flixgott	Auf diesen Beitrag antworten »
genau richtig! entwede die unterraum axiom beweisen oder (mit einem beispiel) widerlegen!
20.04.2005, 17:54	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
was sich bei 3 auch noch anbietet: zeigen, dass einfach der nullvektor nicht drin liegt! aber so geht es natürlich auch! versuchs mal bei 2 mit der abgeschlossenheit bzgl. der addition!
20.04.2005, 18:07	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \vec{V_2} \end{eqnarray}$ :={(x,x²,2x): x $\begin{eqnarray} \in \mathbb R \end{eqnarray}$ } ist kein Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb R ³ \end{eqnarray}$ , denn z.B für x=2 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{V_2} \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ (2,4,4) kein element von $\begin{eqnarray} \vec{V_2} \end{eqnarray*}$ .....so richtig aufgefasst?????werde immer besser beim lösen nur weiss nicht ob es richtig geschrieben wurde??
20.04.2005, 18:12	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
auch fast gut, aber verwende bei gegenbeispielen konkrete zahlen! für lambda=1 z.b. liegt das in V2! allgemein mit lambda, x, y,... machst du, wenn du es für alle zeigen sollst! setze in diesem fall z.b. lambda=2 ein... dann hast du 2(2\|4\|4)=(4\|8\|8) und das ist nicht aus V2.
20.04.2005, 18:24	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
ah so habe vergessen für lambda eine zahl zu schreiben...habe ich auch schon gerechnet hatte für lambda=2 geht ja auch ne stimmt hast du ja auch korrigiert also das wars oder...
20.04.2005, 18:37	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
das wars! kannst auch alternativ zu V2 einfach mal 2 "vektoren" addieren, dagegen ist es genauso wenig abgeschlossen... ich hoffe, du hast diese 3 beispiele verstanden!
20.04.2005, 20:06	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
yep habe verstanden..sonst hätte ich es ja nicht machen können..das einzige was ich noch bedenke ist..woran sieht man es sofort dass es ein Unterraum bzw keins ist???das rechnen dauert ja immer wenn es eins ist
20.04.2005, 20:12	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
hier z.b.: so mengen V={(x1,x2,x3)\|ax1+bx2+cx3=d} sind für alle a,b,c dann ein vektorraum, wenn d=0 ist. für d<>0 sind sie keiner, weil z.b. (0/0/0) nicht drinliegt, aber für die addition als neutraler vektor benötigt wird. (vgl. V1 und V3) wenn solche vektoren mit nichtlinearen teilen (dieses x² bei V2) vorkommen ist das auch ein anzeichen, dass es keiner ist. ansonsten braucht, das halt übung....
22.04.2005, 15:17	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
eine inhaltliche frage...kann ich sagen dass $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ ein Vektorraum ist oder muss ich sagen dass es ein unterraum ist..die frage war ja welche der folgenden mengen sind vektorräume?...
22.04.2005, 15:20	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
gute frage, leichte antwort! du hast einen vektorraum V und eine teilmenge U von V. dann ist U ein Unterraum von V, wenn U selbst ein vektorraum ist! prinzipiell müsstest du also für U alle vektorraumaxiome zeigen.... aber einige vererben sich eben von V, da dort zum beispiel die assoziativität für alle elemente (also insbesondere auch für alle aus U) gilt. also jeder unterraum von V ist selbst wieder ein vektorraum. jochen
22.04.2005, 15:29	Snooper	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich auch also behaupten $\begin{eqnarray} V_1 \end{eqnarray}$ ist ein U-VR? und dann beweisen??und wenn es ein UVR ist somit ist es ja auch ein VR oder..
22.04.2005, 15:35	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorräume die frage ist immer: ein Untervektorraum von was? wenn du nur die unterraumkriterien (die ja nur eine teilmenge der vektorraumaxiome sind) nachprüfen willst, musst du folgende gegebenheit haben: eine elementmenge U, die teilmenge von einem vektorraum V ist (das dieser ein VR ist, muss dabei klar sein) in diesem fall könntest du bei V1 z.b. die unterraumkriterien für einen unterraum des IR³ nachweisen. richtig! damit sparst du dir z.b. assoziativität, denn diese gilt für alle elemente aus dem IR³. mfg jochen

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