Folge + Konvergenz + Index

23.11.2007, 03:32

aaron_h

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Folge + Konvergenz + Index

Ich habe folgende Fragestellung, finde aber keinen Loesungsansatz:

Ich habe eine Folge $\begin{eqnarray*} h_{n} \end{eqnarray*}$ . Alle Elemente der Folge sind Element der Ganzen Zahlen. Die Folge soll dann konvergent sein,
wenn es einen Index $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ gibt, dass $\begin{eqnarray*} h_{n}=h \end{eqnarray*}$ fuer alle n >= $\begin{eqnarray*} h_{0} \end{eqnarray*}$ ist. Dies gilt es zu beweisen.

Ich verstehe die Fragestellung nicht ganz. Was ist denn Index $\begin{eqnarray*} n_{0} \end{eqnarray*}$ ? $\begin{eqnarray*} h_{0} \end{eqnarray*}$ , also n=0? Was wird hier eigentlich gesucht? Soll ich mir eine Folge ausdenken und dann die Konvergenz beweisen?

Vielen Dank fuer die Hilfe. Freude

Freude

23.11.2007, 08:15

Dual Space

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RE: Folge + Konvergenz + Index
Du hast offensichtlich die Aufgabenstellung nicht korrekt wiedergegeb.

Wahrscheinlich sollst du zeigen, dass eine Folge ganzer Zahlen dann und nur dann konvergent ist, wenn sie ab einem gewissen Index $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ konstant ist.

Und dein $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ soll ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sein ... sauberer mitschreiben!

23.11.2007, 09:23

Teddy

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RE: Folge + Konvergenz + Index
Wie kann eine Folge ganzer Zahlen "konvergent" sein? Konstant ja, aber konvergent? O.k., die Abschätzung mit epsilon würde wohl funktionieren - trotzdem ungutes Gefühl.

23.11.2007, 09:25

Dual Space

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RE: Folge + Konvergenz + Index
Ich verstehe deine Frage nicht Teddy.

Betrachte z.B. die Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\begin{cases} n &: n< n_0\\ n_0 &: n\geq n_0\end{cases} \end{eqnarray*}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

23.11.2007, 09:29

Teddy

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RE: Folge + Konvergenz + Index
s. mein Edit.

Den ganzen vorderen (endlichen) Teil der Folge können wir uns o.B.d.A. schenken. Bleibt die Frage: Ist eine konstante Folge konvergent? Formal ja, aber ist "Konvergenz" so gemeint?

23.11.2007, 10:12

Dual Space

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RE: Folge + Konvergenz + Index

Zitat:

Original von Teddy
Ist eine konstante Folge konvergent? Formal ja, aber ist "Konvergenz" so gemeint?

Na klar. Konvergenz bedeutet, dass sich fast alle Folgenglieder in einer beliebig kleinen Umgebung des Häufungspunktes befinden.

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23.11.2007, 13:02

Teddy

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RE: Folge + Konvergenz + Index

Zitat:

Na klar. Konvergenz bedeutet, dass sich fast alle Folgenglieder in einer beliebig kleinen Umgebung des Häufungspunktes befinden.

Schöner "Häufungspunkt". O.k., sagen wir, es ist ein Grenzfall.

23.11.2007, 14:25

aaron_h

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RE: Folge + Konvergenz + Index
Danke fuer die Antworten.

Die Aufgabenstellung wurde korrekt wiedergegeben.

Zitat:

Original von Dual Space

Wahrscheinlich sollst du zeigen, dass eine Folge ganzer Zahlen dann und nur dann konvergent ist, wenn sie ab einem gewissen Index $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ konstant ist. Wie kann eine Folge ganzer Zahlen ab einem Index konstant sein? Geht das ueberhaupt?

Wie kann ich das zeigen. Soll ich mir eine Folge ausdenken und es exemplarisch an dieser zeigen?

Zitat:

Original von Dual Space
Und dein $\begin{eqnarray*} h_0 \end{eqnarray*}$ soll ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sein ... sauberer mitschreiben!

Das war meine Frage. Was ist der Index $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ ? Ich vermutete, es ist in der Folge h mit n=0. Offensichtlich ist es nicht so. verwirrt

verwirrt

23.11.2007, 14:28

tmo

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da die folge konvergiert, hat sie einen grenzwert, beispielsweise h.

dann gilt

$\begin{eqnarray*} |h_n-h| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

folgere daraus nun $\begin{eqnarray*} h_n = h \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ .

beweise dazu am besten erst, dass $\begin{eqnarray*} h \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sein muss.

edit: mal noch ein ganz anderer ansatz:
du könntest folgenden satz verwenden:

Jede konvergente Folge ist eine Cauchyfolge.

23.11.2007, 14:41

aaron_h

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Zitat:

Original von tmo
da die folge konvergiert, hat sie einen grenzwert, beispielsweise h.

dann gilt

$\begin{eqnarray*} |h_n-h| < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

folgere daraus nun $\begin{eqnarray*} h_n = h \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n > N \end{eqnarray*}$ .

beweise dazu am besten erst, dass $\begin{eqnarray*} h \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ sein muss.

Ich komme jetzt ein bisschen durcheinander.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass eine Folge ganzer Zahlen konvergiert. Sie hat einen Grenzwert, ok, aber wo soll der sein?

Deine Erklaerung oben ist sicher perfekt. Ich bin aber kein Mathe-Profi traurig

traurig

Wofuer steht $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

23.11.2007, 14:47

tmo

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beispiel für eine folge ganzer zahlen, die konvergiert: $\begin{eqnarray*} a_n = 1 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von aaron_h
Wofuer steht $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ? verwirrt

verwirrt

du kennst doch sicherlich die definition für konvergenz verwirrt

verwirrt

dann solltest du eigentlich wissen, was diese symbole zu bedeuten haben.

23.11.2007, 16:14

Teddy

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Bleiben wir mal bei der konstanten Folge und fangen nochmal an zu mosern: kurz gesagt: eine Folge konvergiert, wenn "fast alle" Folgeglieder usw. usw. "Fast alle" heißt "alle bis auf endlich viele". Die konstante Folge hat überhaupt kein "bis auf"; bei ihr sind nicht fast alle, sondern alle beliebig nahe am "Genzwert". Ist Null = endlich viele? Man könnte sagen: "viele" fängt bei 1 an, nicht bei 0. Das erinnert an den Streit über die Zugehörigkeit der Null zu den natürlichen Zahlen.

23.11.2007, 17:14

tmo

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$\begin{eqnarray*} a_n \text{ konvergiert gegen } a \Longleftrightarrow \forall \epsilon > 0 ~ \exists N : |a_n-a|<\epsilon \text{ für alle } n > N \end{eqnarray*}$

und 0 sind selbstverständlich nur endlich viele, ich seh da eigentlich keinen diskussionsbedarf Augenzwinkern

Augenzwinkern

denn wenn etwas für endlich viele zahlen zutrifft, dann bedeutet dies ja, dass eine schranke S existiert, derart dass es für weniger als S zutrifft.

und du hast bestimmt schon mal einen grenzwert einer folge berechnet, die vielleicht so aussah:

$\begin{eqnarray*} a_n = 1 + \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

dabei hast du bestimmt die grenzwertsätze angewandt sowie benutzt, dass 1 nunmal gegen 1 konvergiert. hast du damals auch "gemosert"? Augenzwinkern

Augenzwinkern

23.11.2007, 18:28

Teddy

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In deinem Beispiel konvergiert nicht 1 gegen 1, sondern (1+1/n) gegen 1. Aber ich versteh' dich trotzdem. Ich muss mal meine Bücher auf die genaue Definition von "Konvergenz" durchsehen. Vielleicht heißt es: "... bis auf HÖCHSTENS endlich viele"? Dann wäre doch alles klar.

23.11.2007, 19:27

hxh

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tmo meinte sicherlich das richtige es ist ja irgendwie ersichtlich, dass 1 gegen 1 "konvergiert" 1/n konvergiert eben gegen 0 desshalb konvergiert die ganze Folge gegen 1.

23.11.2007, 21:23

Dual Space

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Teddy, akzeptier doch bitte, dass eine Folge konvergent heißt, wenn sie deren Definition genügt. Wenn du dennoch jammern willst mach einen eigenen Thread auf!

Wenn du schon über Kovergenz"güte" reden willst, so lass dir mal durch den Kopf gehen, dass eine konstante Folge die wohl "konvergenteste" Folge überhaupt ist, da $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ unabhängig von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

24.11.2007, 08:59

Teddy

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Sagte ich was von Konvergenzgüte? Ist es nicht spannend, mal einer Definition auf den Zahn zu fühlen? War das nicht vielleicht der Sinn dieser Aufgabe?

24.11.2007, 11:02

Dual Space

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Finger1

Sorry, aber ich habe keine Lust mit dir über Dinge zu diskutieren, die evident sind. Offenbar hast du den Begriff der Konvergenz nicht verstanden. Es gibt viele äquivalente Formulierungen der Konvergenz, z.B. auch: Eine Folge heißt konvergent, wenn sie genau einen Häufungspunkt besitzt. All diese Formulierungen zeigen, dass eine konstante Folge in allen Belangen konvergiert - und das nicht nur als "Grenzfall".

Willst du mit deinen Einwänden eigentlich behaupten, dass es keine konvergenten Folgen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ gibt.

24.11.2007, 20:01

Teddy

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Ist dir schon aufgefallen, dass ich gar nicht widersprochen, sondern nur Zweifel angemeldet habe? Als ich fragte: muss es nicht heißen: "mit Ausnahme von HÖCHSTENS endlich vielen?", da hättest du nur zu sagen brauchen: ja. Dann wären wir schon fertig gewesen. Jetzt sehe ich in meinen Büchern, dass es "höchstens" heißen muss. Damit ist alles klar.

24.11.2007, 20:58

Dual Space

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Schön.

smile

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