Flächeninhalt bestimmen, Integrale

19.04.2005, 22:14

The_Lion

Flächeninhalt bestimmen, Integrale

Hallo.
Ich versuche, so langsam die Integralrechnung zu erlernen, da ich das zur Schulzeit selbst nicht erlernt habe. Dieses enorme Defiizit muss ich ausbügeln.
Es geht noch nicht um Integrale, sondern um Flächenberechnung.

Aufgabe:
a) f(x)= x^3 . Der Graph, die x-Achse und die Gerade mit der Gleichung x=2 begrenzen eine Fläche. Bestimmen Sie ihren Inhalt als Grenzwert der Obersumme $\begin{eqnarray*} O_n \end{eqnarray*}$ .

Ich habe nur Probleme beim Umformen am Ende, wo man auf den Limes hinaus will.

$\begin{eqnarray*} O_n \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n}[( \frac{2}{n})^3 +(2* \frac{2}{n})^3+...+((n-1)* \frac{2}{n})^3 ] \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{2^4}{n^4} [1^3+2^3+...+(n-1)^3] \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{2^4}{n^4}* \frac{1}{4}*(n-1) *n^2 \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 4*\frac{1}{n^4}*(n-1)*n^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 4*\frac{n-1}{n^2}*\frac{n^2}{n^2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 4 \frac{n-1}{n^2} = 4 ( \frac{n}{n^2} - \frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} 4( \frac{1}{n} - \frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$

Ich weiss, ist alles sehr ausführlich aufgeschrieben wie bei nem blutigen Anfänger.
Wie wende ich den Limes an ?

Danke.

19.04.2005, 22:34

Mathespezialschüler

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Sieht doch schon ganz gut aus und zu viele Schritte sind sicher nicht, is eigentlich für eine korrekte Darstellung genau richtig!

Zitat:

Original von The_Lion
= $\begin{eqnarray*} \frac{2^4}{n^4} [1^3+2^3+...+(n-1)^3] \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{2^4}{n^4}* \frac{1}{4}*(n-1) *n^2 \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, richtig wäre
...
$\begin{eqnarray*} =\frac{2^4}{n^4} [1^3+2^3+...+(n-1)^3] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{2^4}{n^4}\cdot \frac{1}{4}\cdot (n-1)^2\cdot n^2 \end{eqnarray*}$

Entsprechend musst du deine Umformungen verändern und dann kommt bei dem Grenzwert auch nicht 0 raus, sondern 4 Augenzwinkern

19.04.2005, 22:46

The_Lion

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ja stimmt, danke. Habs raus.

ok, bin jetzt bei Integralen.

Hätte da Fragen zur Schreibweise:

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~2~dx \end{eqnarray*}$ ?
Dass es die Konstante Funktion y= 2 ist oder ?

Und : $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~~dx \end{eqnarray*}$ ? Liegt hier ein Schreibfehler vor,denn der Integrand fehlt doch ? (Steht in nem Buch)

edit:
Habe hier eine andere Aufgabe:
Beim senkrechten Wurf nach oben mit der Abwurfgeschwindigkeit v_0 = 20 (in m/s) nimmt die Geschwindigkeit v eines Körpers linear ab. Es gilt v(t) = 20-10*t (t in s). berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~v(t)~dt \end{eqnarray*}$ . deuten Sie das Integral als Bilanzsumme von Flächeninhalten und als physikalische Größe.

Ein Hinweis, wie ich das angehen könnte , wäre gut. Ich weiss, was ne Bilanzsumme ist. Aber ich kann nicht direkt zuerst $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~20-10*t~dt \end{eqnarray*}$ ausrechnen, und danach $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{4}~20-10*t~dt \end{eqnarray*}$ , da die negative Fläche direkt unter der positiven liegt. Muss ich das erste Integral , also $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~20-10*t~dt \end{eqnarray*}$ als eine Betragsfunktion ansehen ?
also $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~|20-10*t|~dt \end{eqnarray*}$

Danke.

edit: Doppelpost zusammengefügt, bitte benutze die edit-Funktion! (MSS)

20.04.2005, 07:56

Egal

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Zitat:

Original von The_Lion
Hätte da Fragen zur Schreibweise:

Was bedeutet $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~2~dx \end{eqnarray*}$ ?
Dass es die Konstante Funktion y= 2 ist oder ?

Genau es handelt sich hier um ein Integral zu einer konstanten Funktion.

Zitat:

Und : $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~~dx \end{eqnarray*}$ ? Liegt hier ein Schreibfehler vor,denn der Integrand fehlt doch ? (Steht in nem Buch)

Nein kein Schreibfehler das ist ähnlich wie das oben nur fehlt hier die 1 die Statt der 2 da ist.

Zitat:

Habe hier eine andere Aufgabe:
Beim senkrechten Wurf nach oben mit der Abwurfgeschwindigkeit v_0 = 20 (in m/s) nimmt die Geschwindigkeit v eines Körpers linear ab. Es gilt v(t) = 20-10*t (t in s). berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~v(t)~dt \end{eqnarray*}$ . deuten Sie das Integral als Bilanzsumme von Flächeninhalten und als physikalische Größe.

Bilanzsumme scheint ja einigermassen klar zu sein. Physikalische Grösse bei einem Produkt aus Geschwindigkeit und Zeit ist eine Länge bzw zurückgelegte Strecke. Wenn bei Sowas 0 rauskommt heisst das schlicht ich bin wieder am Anfang meiner Bewegung.

20.04.2005, 23:26

The_Lion

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jo, aber wie berechne ich denn die Flächen ? ich muss sie ja einzeln bestimmen, positivie und negative, da sie direkt untereinander liegen, also mit einem Integral bis zur Grenze 2 auch der negaive Teil abgedeckt würde.

21.04.2005, 08:48

klarsoweit

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Man kann durchaus das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{4}~20-10*t~dt \end{eqnarray*}$ ausrechnen. Wenn da was negatives (= zurückgelegte Strecke) rauskommt, befindet sich der Körper unterhalb vom Startpunkt.

25.04.2005, 02:21

The_Lion

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nach kurzer Pause wieder zurück.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2}~(0,5x+1)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} O_n=\frac{2}{n}[(\frac{1}{2}\frac{2}{n}+1)+...+\frac{1}{2}n\frac{2}{n}+1)] \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n}[(\frac{1}{n}+1)+...+ (\frac{n}{n}+1)] \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{2}{n}[n+\frac{1}{n}+...+\frac{n}{n}] \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} 2 + \frac{2}{n^2}+\frac{4}{n^2}+...+\frac{2}{n} \end{eqnarray*}$

Nur wie komme ich jetzt auf de Fläche ?

Danke.

edit: noch ne Kleinigkeit:

Berechne das Integral mithilfe der Integralfunktion $\begin{eqnarray*} J_0(x) = \int_{0}^{x}~t^2~dt = \frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$

a) $\begin{eqnarray*} \int_{4}^{7}~t^2~dt = \int_{0}^{7}~t^2~dt - \int_{0}^{4}~t^2~dt = \frac{1}{3}7^3 - \frac{1}{3}4^3 \end{eqnarray*}$

das is klar.

- Aber wenn ich die Formel auf $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{-2}~t^2~dt \end{eqnarray*}$ anwende, also die Formel, dass das eben 1/3*x^3 ergibt, dann würde da was negatives rauskommen, obwohl der Graph oberhalb der x-Achse verläuft. Darf man also nicht machen oder ?

Wie rechnet man das aus, wenn man sich den Graphen nicht anschaut ? Wenn man den Graphen kennt, natürlich kennt man ihn, dann weiss man, er verläuft so wie bei der oberen Grenze +2.

- darf die obere Grenze überhaupt kleiner als die untere Grenze sein ?

25.04.2005, 08:55

klarsoweit

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Diese Schreibweise mit Pünktchen ist nicht so geschickt. Also das Intervall [0; 2] wird in n Abschnitte geteilt. Du hast also die Stellen k/n mit k=1, ..., n. An diesen Stellen wird der Funktionswert errechnet und mit der Intervalllänge 2/n multipliziert.
Also ist die Obersumme:
$\begin{eqnarray*} O_n = \sum_{k=1}^n~\frac{2}{n} \cdot (0,5 \cdot \frac{k}{n} + 1) \end{eqnarray*}$
Jetzt die Summe noch etwas umformen und dann n gegen unendlich laufen lassen.

Diese Sache mit den Grenzen. Ja es ist so: Wenn die obere Grenze kleiner ist, wird das Integral negativ, wenn die Funktion ansonsten positiv ist. Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~f(x)~dx = - \int_{b}^{a}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

25.04.2005, 20:00

The_Lion

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und Integrale $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~x^2~dx \end{eqnarray*}$ hat auch nur dann das Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}b^3 \end{eqnarray*}$ , wenn die untere Grenze 0 ist richtig ?

26.04.2005, 08:20

klarsoweit

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genau!

Und man sieht leicht, wenn b < 0 ist, kommt was negatives raus (weil man von Null nach links integriert), und für b > 0 kommt was positives raus.

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